Les constructions 81
1801
Gauss publie Recherches
arithmétiques qui comprend
une partie consacrée à
la construction d’un polygone à
17 côtés à la règle et au compas.
1837
Wantzel prouve que les problèmes
classiques de duplication
d’un cube ou de trisection d’un
angle ne peuvent pas se résoudre
à la règle et au compas.
1882
Lindemann prouve que
la quadrature du cercle
est impossible.
en d’autres termes, d’en faire la bissection. Placez d’abord la pointe du compas sur
le point 0, et, en prenant un rayon quelconque, notez OA et OB. Placez la pointe du
compas sur A et tracez un arc de cercle. Procédez de même avec B. Notez P le point
d’intersection des arcs de cercle, et joignez O et P à la règle. Les triangles AOP et
BOP sont semblables et donc les angles AOP et BOP sont égaux. La droite (OP) est
la bissectrice recherchée puisqu’elle coupe l’angle en deux angles égaux.
Pouvons-nous suivre une procédure semblable pour couper un angle quelconque
en trois angles égaux ? C’est le problème de la trisection de l’angle.
Si l’angle est de 90°, c’est donc un angle droit, et il n’y a pas de problème parce
que l’on peut construire un angle de 30°. Mais, si l’on prend un angle de 60° par
exemple, on ne peut absolument pas faire la trisection de cet angle. On sait que la
réponse est 20° mais il n’existe aucune manière de construire un tel angle à la règle
et au compas. Donc, pour résumer :
• on peut toujours faire la bissection d’un angle.
• on peut faire la trisection de certains angles ayant des valeurs particulières, mais
• on ne peut jamais faire la trisection d’un angle quelconque.
La duplication du cube est un problème similaire que l’on appelle le problème
déliaque ou de Délos. On raconte que les habitants de Délos en Grèce consultèrent
l’oracle au sujet de la peste qui sévissait alors. Il leur recommanda de construire un
nouvel autel, dont le volume serait le double de celui de l’autel déjà existant.
Imaginez l’autel de Délos comme un cube dont tous les côtés sont de longueur a. Il
leur fallait donc construire un autre cube de longueur b ayant deux fois le volume
du premier. Le volume de chacun des cubes est égal à a
3 et b
3 et ils sont donc liés
par l’équation b
3 = 2a
3
, ce qui donne b = a
3
√2 , où 3
3
√2 est le nombre qui, multiplié
par lui-même trois fois, donne 2 (la racine cubique). Si le côté du cube initial est
a = 1, les habitants de Délos devaient noter la longueur
3
√2
sur une droite. Malheureusement pour eux, c’est une
tâche impossible à effectuer à la règle et au compas
quelle que soit l’ingéniosité déployée pour réaliser la construction souhaitée.
La quadrature du cercle Ce problème
est légèrement différent mais c’est aussi le plus
connu de tous les problèmes de géométrie :
Construire un carré dont l’aire est égale à l’aire d’un cercle
donné.
La quadrature du cercle
A
A?
1801
Gauss publie Recherches
arithmétiques qui comprend
une partie consacrée à
la construction d’un polygone à
17 côtés à la règle et au compas.
1837
Wantzel prouve que les problèmes
classiques de duplication
d’un cube ou de trisection d’un
angle ne peuvent pas se résoudre
à la règle et au compas.
1882
Lindemann prouve que
la quadrature du cercle
est impossible.
en d’autres termes, d’en faire la bissection. Placez d’abord la pointe du compas sur
le point 0, et, en prenant un rayon quelconque, notez OA et OB. Placez la pointe du
compas sur A et tracez un arc de cercle. Procédez de même avec B. Notez P le point
d’intersection des arcs de cercle, et joignez O et P à la règle. Les triangles AOP et
BOP sont semblables et donc les angles AOP et BOP sont égaux. La droite (OP) est
la bissectrice recherchée puisqu’elle coupe l’angle en deux angles égaux.
Pouvons-nous suivre une procédure semblable pour couper un angle quelconque
en trois angles égaux ? C’est le problème de la trisection de l’angle.
Si l’angle est de 90°, c’est donc un angle droit, et il n’y a pas de problème parce
que l’on peut construire un angle de 30°. Mais, si l’on prend un angle de 60° par
exemple, on ne peut absolument pas faire la trisection de cet angle. On sait que la
réponse est 20° mais il n’existe aucune manière de construire un tel angle à la règle
et au compas. Donc, pour résumer :
• on peut toujours faire la bissection d’un angle.
• on peut faire la trisection de certains angles ayant des valeurs particulières, mais
• on ne peut jamais faire la trisection d’un angle quelconque.
La duplication du cube est un problème similaire que l’on appelle le problème
déliaque ou de Délos. On raconte que les habitants de Délos en Grèce consultèrent
l’oracle au sujet de la peste qui sévissait alors. Il leur recommanda de construire un
nouvel autel, dont le volume serait le double de celui de l’autel déjà existant.
Imaginez l’autel de Délos comme un cube dont tous les côtés sont de longueur a. Il
leur fallait donc construire un autre cube de longueur b ayant deux fois le volume
du premier. Le volume de chacun des cubes est égal à a
3 et b
3 et ils sont donc liés
par l’équation b
3 = 2a
3
, ce qui donne b = a
3
√2 , où 3
3
√2 est le nombre qui, multiplié
par lui-même trois fois, donne 2 (la racine cubique). Si le côté du cube initial est
a = 1, les habitants de Délos devaient noter la longueur
3
√2
sur une droite. Malheureusement pour eux, c’est une
tâche impossible à effectuer à la règle et au compas
quelle que soit l’ingéniosité déployée pour réaliser la construction souhaitée.
La quadrature du cercle Ce problème
est légèrement différent mais c’est aussi le plus
connu de tous les problèmes de géométrie :
Construire un carré dont l’aire est égale à l’aire d’un cercle
donné.
La quadrature du cercle
A
A?