Le calcul différentiel 79
un procédé pour obtenir la dérivée des fonctions x
n : on
diminue de 1 la puissance de x et on multiplie le tout
par n.
Intégration La première application de l’intégration a concerné la mesure des aires. La mesure d’une
aire sous une courbe s’obtient en la divisant en bandes
rectangulaires de largeur dx. On mesure les aires de tous
les rectangles et l’on additionne ensuite ces aires pour
trouver leur « somme » et donc l’aire approximative
totale. La notation de S sous la forme allongée ⌠ pour
désigner cette somme a été introduite par Leibniz. L’aire
de chacune des bandes rectangulaires est égale à u dx, et donc l’aire A sous la courbe
de 0 à x est égale à
A =
x
∫
0
u dx
Si la courbe que nous étudions est u = x
2 , on trouve l’aire en traçant
des rectangles très étroits sous la courbe, on additionne leurs aires pour
calculer l’aire approximative, puis on calcule la limite de la somme des
aires des rectangles lorsque leur largeur tend vers 0 pour obtenir l’aire
exacte. Cette réponse donne
A = x
3
/3.
On peut toujours, pour des courbes différentes, et donc pour d’autres
expressions de u, calculer l’intégrale. Comme la dérivée, il existe un
procédé pour calculer l’intégrale des fonctions x
n
. Elle s’obtient en augmentant de 1 la puissance de x et en divisant le tout par ce nouvel
exposant.
Le résultat phare Si l’on dérive l’intégrale A = x
3 /3, on retrouve le résultat
initial u = x
2
. Si l’on intègre la dérivée du/dx = 2x, on obtient aussi le résultat initial
u = x
2 . La dérivation est l’opération inverse de l’intégration, observation connue
sous le nom de « théorème fondamental du calcul différentiel », qui est aussi l’un
des théorèmes les plus importants de toutes les mathématiques.
Sans le Calcul différentiel, il n’y aurait pas de satellites en orbite, pas de théorie
économique et les statistiques seraient une discipline complètement différente de
ce qu’elles sont. Là où il se produit du changement, on trouve le Calcul différentiel.
u
0
x
A
udx
=
x
2
x
3 /3
x
3
x
4 /4
x
4
x
5 /5
x
5
x
6 /6
. . .
. . .
x
n
x
n +1
/(n+1)
u
O
x
A
l’idée clé
Tendre vers la limite
un procédé pour obtenir la dérivée des fonctions x
n : on
diminue de 1 la puissance de x et on multiplie le tout
par n.
Intégration La première application de l’intégration a concerné la mesure des aires. La mesure d’une
aire sous une courbe s’obtient en la divisant en bandes
rectangulaires de largeur dx. On mesure les aires de tous
les rectangles et l’on additionne ensuite ces aires pour
trouver leur « somme » et donc l’aire approximative
totale. La notation de S sous la forme allongée ⌠ pour
désigner cette somme a été introduite par Leibniz. L’aire
de chacune des bandes rectangulaires est égale à u dx, et donc l’aire A sous la courbe
de 0 à x est égale à
A =
x
∫
0
u dx
Si la courbe que nous étudions est u = x
2 , on trouve l’aire en traçant
des rectangles très étroits sous la courbe, on additionne leurs aires pour
calculer l’aire approximative, puis on calcule la limite de la somme des
aires des rectangles lorsque leur largeur tend vers 0 pour obtenir l’aire
exacte. Cette réponse donne
A = x
3
/3.
On peut toujours, pour des courbes différentes, et donc pour d’autres
expressions de u, calculer l’intégrale. Comme la dérivée, il existe un
procédé pour calculer l’intégrale des fonctions x
n
. Elle s’obtient en augmentant de 1 la puissance de x et en divisant le tout par ce nouvel
exposant.
Le résultat phare Si l’on dérive l’intégrale A = x
3 /3, on retrouve le résultat
initial u = x
2
. Si l’on intègre la dérivée du/dx = 2x, on obtient aussi le résultat initial
u = x
2 . La dérivation est l’opération inverse de l’intégration, observation connue
sous le nom de « théorème fondamental du calcul différentiel », qui est aussi l’un
des théorèmes les plus importants de toutes les mathématiques.
Sans le Calcul différentiel, il n’y aurait pas de satellites en orbite, pas de théorie
économique et les statistiques seraient une discipline complètement différente de
ce qu’elles sont. Là où il se produit du changement, on trouve le Calcul différentiel.
u
0
x
A
udx
=
x
2
x
3 /3
x
3
x
4 /4
x
4
x
5 /5
x
5
x
6 /6
. . .
. . .
x
n
x
n +1
/(n+1)
u
O
x
A
l’idée clé
Tendre vers la limite