50 clés pour comprendre les maths
78
Pour aller plus loin, il nous faut quelques symboles. La formule exacte qui relie la
distance y parcourue lors de la chute au temps x nécessaire pour atteindre un point
donné a été trouvée par Galilée :
y = 16 × x
2
.
Le facteur « 16 » apparaît parce que pieds et secondes sont les unités de mesure
choisies. Si l’on veut savoir, par exemple, quelle distance la pierre aura parcouru en
3 secondes, il suffit de remplacer x par 3 dans la formule et de calculer la réponse :
y = 16 × 3
2 = 144 pieds (43,9 mètres). Mais comment calculer la vitesse de la pierre
au moment x = 3 ?
Prenons une demi-seconde de plus et voyons la distance parcourue par la pierre
entre 3 et 3,5 secondes. En 3,5 secondes, la pierre parcourt y = 16 × 3,5
2 = 196 pieds
(59,7 m), et donc entre 3 et 3,5 secondes elle parcourt 196 – 144 = 52 pieds (15,8 m).
Comme la vitesse est égale à la distance divisée par le temps, la vitesse moyenne
pendant cet intervalle de temps est égale à 52/0,5 = 104 pieds (31,7 m) par seconde.
Ce résultat sera plus proche de la vitesse instantanée de la pierre après 3 secondes
de chute (lorsque x = 3).
Il faut maintenant prendre le taureau par les cornes et traiter le problème du calcul
de la vitesse moyenne de la pierre entre x secondes et légèrement plus tard à x + h
secondes. Après une petite manipulation on trouve :
16 × (2x) + 16 × h.
Étant donné que l’on réduit h graduellement, comme nous l’avons fait en passant
de 0,5 à 0,05, on voit que le premier terme n’est pas affecté (parce qu’il ne contient
pas h) et que le second terme lui-même devient de plus en plus petit. On en conclut
que
v = 16 × (2x)
où v est la vitesse instantanée de la pierre au moment x. La vitesse instantanée de la
pierre après 1 seconde (quand x = 1) par exemple est égale à 16 × (2 × 1) = 32 pieds
(9,7 m) par seconde ; après 3 secondes, elle est égale à 16 × (2 × 3), ce qui donne 96
pieds (29,3 m) par seconde.
Si l’on compare la formule de la distance de Galilée y = 16 × x
2
avec la formule de la vitesse v = 16 × (2x), la différence essentielle tient dans le changement de x
2 en 2x. L’effet de la dérivation, c’est ce passage de u = x
2 à la dérivée u. = 2x. Newton appelait
u. = 2x une « fluxion » et la variable x un « fluent » parce qu’il pensait en
termes de quantités fluides. De nos jours, on écrit fréquemment u = x
2 et
sa dérivée du/dx = 2x. Initialement introduite par Leibniz, l’utilisation de
cette notation aujourd’hui encore témoigne de la supériorité du formalisme de Leibniz sur celui de Newton.
La pierre qui tombe était un exemple, mais si u représentait autre chose, on pourrait
toujours calculer la dérivée, ce qui peut être utile dans d’autres contextes. Il existe
u
du/dx
x
2
2x
x
3
3x
2
x
4
4x
3
x
5
5x
4
. . .
. . .
x
n
nx
n – 1
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Pour aller plus loin, il nous faut quelques symboles. La formule exacte qui relie la
distance y parcourue lors de la chute au temps x nécessaire pour atteindre un point
donné a été trouvée par Galilée :
y = 16 × x
2
.
Le facteur « 16 » apparaît parce que pieds et secondes sont les unités de mesure
choisies. Si l’on veut savoir, par exemple, quelle distance la pierre aura parcouru en
3 secondes, il suffit de remplacer x par 3 dans la formule et de calculer la réponse :
y = 16 × 3
2 = 144 pieds (43,9 mètres). Mais comment calculer la vitesse de la pierre
au moment x = 3 ?
Prenons une demi-seconde de plus et voyons la distance parcourue par la pierre
entre 3 et 3,5 secondes. En 3,5 secondes, la pierre parcourt y = 16 × 3,5
2 = 196 pieds
(59,7 m), et donc entre 3 et 3,5 secondes elle parcourt 196 – 144 = 52 pieds (15,8 m).
Comme la vitesse est égale à la distance divisée par le temps, la vitesse moyenne
pendant cet intervalle de temps est égale à 52/0,5 = 104 pieds (31,7 m) par seconde.
Ce résultat sera plus proche de la vitesse instantanée de la pierre après 3 secondes
de chute (lorsque x = 3).
Il faut maintenant prendre le taureau par les cornes et traiter le problème du calcul
de la vitesse moyenne de la pierre entre x secondes et légèrement plus tard à x + h
secondes. Après une petite manipulation on trouve :
16 × (2x) + 16 × h.
Étant donné que l’on réduit h graduellement, comme nous l’avons fait en passant
de 0,5 à 0,05, on voit que le premier terme n’est pas affecté (parce qu’il ne contient
pas h) et que le second terme lui-même devient de plus en plus petit. On en conclut
que
v = 16 × (2x)
où v est la vitesse instantanée de la pierre au moment x. La vitesse instantanée de la
pierre après 1 seconde (quand x = 1) par exemple est égale à 16 × (2 × 1) = 32 pieds
(9,7 m) par seconde ; après 3 secondes, elle est égale à 16 × (2 × 3), ce qui donne 96
pieds (29,3 m) par seconde.
Si l’on compare la formule de la distance de Galilée y = 16 × x
2
avec la formule de la vitesse v = 16 × (2x), la différence essentielle tient dans le changement de x
2 en 2x. L’effet de la dérivation, c’est ce passage de u = x
2 à la dérivée u. = 2x. Newton appelait
u. = 2x une « fluxion » et la variable x un « fluent » parce qu’il pensait en
termes de quantités fluides. De nos jours, on écrit fréquemment u = x
2 et
sa dérivée du/dx = 2x. Initialement introduite par Leibniz, l’utilisation de
cette notation aujourd’hui encore témoigne de la supériorité du formalisme de Leibniz sur celui de Newton.
La pierre qui tombe était un exemple, mais si u représentait autre chose, on pourrait
toujours calculer la dérivée, ce qui peut être utile dans d’autres contextes. Il existe
u
du/dx
x
2
2x
x
3
3x
2
x
4
4x
3
x
5
5x
4
. . .
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x
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