Le calcul différentiel 77
1734
Berkeley attire l’attention
sur les faiblesses
des fondements
du Calcul différentiel.
Dans les années 1820
Cauchy formalise la théorie
avec rigueur.
1854
Riemann introduit
l’intégrale
de Riemann.
1902
Lebesgue établit la
théorie de l’intégrale
de Lebesgue.
Gilbert et Sullivan dans l’opérette The Pirates of Penzance se vante de les maîtriser
toutes les deux :
Mon savoir sur le carré de l’hypoténuse est démentiel,
Et je suis un as du calcul intégral et différentiel.
Différentiation Les scientifiques, et Einstein tout particulièrement, adorent
conduire des « expériences de pensée ». Imaginez que nous sommes sur un pont
au-dessus d’une gorge profonde et que nous nous apprêtons à jeter une pierre. Que
va-t-il se passer ? Par la pensée, on peut aussi faire des choses impossibles comme
arrêter la pierre dans sa chute ou la regarder tomber au ralenti pendant un court
moment. Nul besoin de notre présence physique !
Selon la théorie de la gravitation de Newton, la pierre va
tomber. Rien de surprenant ici : la pierre subit l’attraction terrestre et tombera de plus en plus vite à mesure
de l’avancée de l’aiguille sur notre chronomètre. Un
autre avantage de ces expériences par la pensée, c’est
que l’on peut ignorer des facteurs qui viennent compliquer les choses, comme par exemple la résistance de l’air.
Quelle est la vitesse de la pierre à un instant donné, disons
lorsque l’aiguille du chronomètre indique 3 secondes exactement après le top de départ ? Comment trouver la solution ?
On peut certainement mesurer la vitesse moyenne mais notre
problème est de mesurer la vitesse instantanée. Comme il s’agit
d’une expérience par la pensée, pourquoi ne pas arrêter la
pierre dans sa chute puis la laisser tomber sur une courte distance en ajoutant une fraction de seconde ? Si l’on divise cette
distance supplémentaire par le temps additionnel, on aura la
vitesse moyenne pendant ce court intervalle de temps. En prenant des intervalles de temps de plus en plus courts, la vitesse
moyenne sera de plus en plus proche de la vitesse instantanée à
l’endroit où nous avons arrêté la pierre.
Nous pourrions être tentés de prendre un temps additionnel égal à zéro. Mais dans
notre expérience par la pensée, la pierre ne bouge pas du tout. Elle parcourt une
distance nulle en un temps nul ! Cela nous donnerait la vitesse moyenne 0/0 que
le célèbre évêque philosophe irlandais Berkeley décrivait comme « les fantômes de
quantités disparues ». Une telle vitesse ne peut pas être déterminée : elle est en fait
dépourvue de sens. En prenant cette voie, nous allons tout droit dans un bourbier
numérique.
distance
y
144
196
3
3.5
temps
x
1734
Berkeley attire l’attention
sur les faiblesses
des fondements
du Calcul différentiel.
Dans les années 1820
Cauchy formalise la théorie
avec rigueur.
1854
Riemann introduit
l’intégrale
de Riemann.
1902
Lebesgue établit la
théorie de l’intégrale
de Lebesgue.
Gilbert et Sullivan dans l’opérette The Pirates of Penzance se vante de les maîtriser
toutes les deux :
Mon savoir sur le carré de l’hypoténuse est démentiel,
Et je suis un as du calcul intégral et différentiel.
Différentiation Les scientifiques, et Einstein tout particulièrement, adorent
conduire des « expériences de pensée ». Imaginez que nous sommes sur un pont
au-dessus d’une gorge profonde et que nous nous apprêtons à jeter une pierre. Que
va-t-il se passer ? Par la pensée, on peut aussi faire des choses impossibles comme
arrêter la pierre dans sa chute ou la regarder tomber au ralenti pendant un court
moment. Nul besoin de notre présence physique !
Selon la théorie de la gravitation de Newton, la pierre va
tomber. Rien de surprenant ici : la pierre subit l’attraction terrestre et tombera de plus en plus vite à mesure
de l’avancée de l’aiguille sur notre chronomètre. Un
autre avantage de ces expériences par la pensée, c’est
que l’on peut ignorer des facteurs qui viennent compliquer les choses, comme par exemple la résistance de l’air.
Quelle est la vitesse de la pierre à un instant donné, disons
lorsque l’aiguille du chronomètre indique 3 secondes exactement après le top de départ ? Comment trouver la solution ?
On peut certainement mesurer la vitesse moyenne mais notre
problème est de mesurer la vitesse instantanée. Comme il s’agit
d’une expérience par la pensée, pourquoi ne pas arrêter la
pierre dans sa chute puis la laisser tomber sur une courte distance en ajoutant une fraction de seconde ? Si l’on divise cette
distance supplémentaire par le temps additionnel, on aura la
vitesse moyenne pendant ce court intervalle de temps. En prenant des intervalles de temps de plus en plus courts, la vitesse
moyenne sera de plus en plus proche de la vitesse instantanée à
l’endroit où nous avons arrêté la pierre.
Nous pourrions être tentés de prendre un temps additionnel égal à zéro. Mais dans
notre expérience par la pensée, la pierre ne bouge pas du tout. Elle parcourt une
distance nulle en un temps nul ! Cela nous donnerait la vitesse moyenne 0/0 que
le célèbre évêque philosophe irlandais Berkeley décrivait comme « les fantômes de
quantités disparues ». Une telle vitesse ne peut pas être déterminée : elle est en fait
dépourvue de sens. En prenant cette voie, nous allons tout droit dans un bourbier
numérique.
distance
y
144
196
3
3.5
temps
x