Les ensembles 75
l’ensemble R ne l’est pas (voir page 31). Tous deux sont infinis, mais l’ensemble
R a un plus grand ordre d’infinité que Q. Les mathématiciens indiquent le card Q
par ℵ 0 , « l’aleph 0 » hébreux, et card R = c. Cela signifie donc que ℵ 0 < c.
L’hypothèse du continu Mise en lumière par Cantor en 1878, l’hypothèse
du continu stipule que le niveau suivant d’infinité après l’infinité de Q est l’infinité
des nombres réels c. En d’autres termes, selon l’hypothèse du continu, il n’existe pas
d’ensemble dont le cardinal est strictement compris entre ℵ 0 et c. Malgré tous ses
efforts et bien que persuadé de la véracité de cette hypothèse, Cantor n’a pas réussi
à en apporter la preuve. La réfuter revient à trouver un sous-ensemble X de R avec
ℵ 0 < card X< c, mais il ne parvint pas à trouver un tel ensemble non plus.
Le problème était si difficile que le mathématicien David Hilbert le plaça en tête de
la célèbre liste de 23 problèmes ouverts lancée à l’adresse des chercheurs du siècle
suivant, liste qu’il présenta au Congrès mathématique international de Paris en
1900.
Gödel était absolument convaincu que l’hypothèse était fausse mais il n’en apporta
pas la preuve. Il réussit à prouver (en 1938) que l’hypothèse était compatible avec
les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Un quart de siècle
plus tard, Paul Cohen stupéfia Gödel et les logiciens en prouvant que l’hypothèse
du continu ne pouvait se déduire des axiomes de Zermelo-Fraenkel. Cela revient à
montrer que l’on peut avoir à la fois les axiomes et l’hypothèse du continu ou sa
négation, si la théorie des ensembles est non contradictoire. Ce résultat, combiné
avec celui de Gödel trouvé en 1938, permit à Cohen de montrer que l’hypothèse du
continu était indépendante des axiomes de la théorie des ensembles.
Cette conclusion est à rapprocher de la manière dont il y a indépendance du postulat des parallèles (ou postulat d’Euclide) en géométrie (voir page 108) et des
autres axiomes d’Euclide. Cette découverte entraîna une floraison de géométries
non euclidiennes, qui, entre autres choses, permirent l’avancée de la théorie de
la relativité d’Einstein. De la même manière, l’hypothèse du continu peut être
acceptée ou rejetée sans gêner les autres axiomes de la théorie des ensembles. Après
le résultat novateur trouvé par Cohen, c’est un domaine entier qui fut créé. Il attira
des générations de mathématiciens qui adoptèrent les techniques utilisées pour
prouver l’indépendance de l’hypothèse du continu.
l’idée clé
Une multitude traitée
comme un élément unique
l’ensemble R ne l’est pas (voir page 31). Tous deux sont infinis, mais l’ensemble
R a un plus grand ordre d’infinité que Q. Les mathématiciens indiquent le card Q
par ℵ 0 , « l’aleph 0 » hébreux, et card R = c. Cela signifie donc que ℵ 0 < c.
L’hypothèse du continu Mise en lumière par Cantor en 1878, l’hypothèse
du continu stipule que le niveau suivant d’infinité après l’infinité de Q est l’infinité
des nombres réels c. En d’autres termes, selon l’hypothèse du continu, il n’existe pas
d’ensemble dont le cardinal est strictement compris entre ℵ 0 et c. Malgré tous ses
efforts et bien que persuadé de la véracité de cette hypothèse, Cantor n’a pas réussi
à en apporter la preuve. La réfuter revient à trouver un sous-ensemble X de R avec
ℵ 0 < card X< c, mais il ne parvint pas à trouver un tel ensemble non plus.
Le problème était si difficile que le mathématicien David Hilbert le plaça en tête de
la célèbre liste de 23 problèmes ouverts lancée à l’adresse des chercheurs du siècle
suivant, liste qu’il présenta au Congrès mathématique international de Paris en
1900.
Gödel était absolument convaincu que l’hypothèse était fausse mais il n’en apporta
pas la preuve. Il réussit à prouver (en 1938) que l’hypothèse était compatible avec
les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Un quart de siècle
plus tard, Paul Cohen stupéfia Gödel et les logiciens en prouvant que l’hypothèse
du continu ne pouvait se déduire des axiomes de Zermelo-Fraenkel. Cela revient à
montrer que l’on peut avoir à la fois les axiomes et l’hypothèse du continu ou sa
négation, si la théorie des ensembles est non contradictoire. Ce résultat, combiné
avec celui de Gödel trouvé en 1938, permit à Cohen de montrer que l’hypothèse du
continu était indépendante des axiomes de la théorie des ensembles.
Cette conclusion est à rapprocher de la manière dont il y a indépendance du postulat des parallèles (ou postulat d’Euclide) en géométrie (voir page 108) et des
autres axiomes d’Euclide. Cette découverte entraîna une floraison de géométries
non euclidiennes, qui, entre autres choses, permirent l’avancée de la théorie de
la relativité d’Einstein. De la même manière, l’hypothèse du continu peut être
acceptée ou rejetée sans gêner les autres axiomes de la théorie des ensembles. Après
le résultat novateur trouvé par Cohen, c’est un domaine entier qui fut créé. Il attira
des générations de mathématiciens qui adoptèrent les techniques utilisées pour
prouver l’indépendance de l’hypothèse du continu.
l’idée clé
Une multitude traitée
comme un élément unique