50 clés pour comprendre les maths
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Il demanda ensuite : « Est-ce que S ∈ S ? » Si la réponse est « Oui », alors S doit
satisfaire la définition de S, et donc S ∉ S. D’un autre côté, si la réponse est «Non »
et que S ∉ S, alors S ne satisfait pas la relation qui définit S, à savoir S ∉ S, et donc
S ∈ S. Le problème de Russell se terminait par cette proposition, qui est à la base du
paradoxe de Russell.
S ∈ S si et seulement si S ∉ S.
C’est un problème semblable au « paradoxe du barbier », où un barbier annonce
aux gens de son village qu’il ne rasera que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. La
question qui se pose est alors de savoir si le barbier doit se raser lui-même. S’il ne se
rase pas lui-même, alors oui, il le doit. S’il se rase lui-même, alors il ne le doit pas.
Il est impératif d’éviter de tels paradoxes, que l’on appelle poliment des « antinomies ». Pour les mathématiciens, on ne peut tout simplement pas autoriser des
systèmes qui génèrent des contradictions. Russell créa une théorie des types qui
n’autorise la relation a ∈ A que si a est d’un type strictement inférieur à A, ce qui
permet ainsi d’éviter des relations telles que S ∈ S.
Une autre manière d’éviter ces antinomies était de formaliser la théorie des
ensembles. Dans cette approche, on ne se préoccupe pas de la nature des ensembles
eux-mêmes, mais on dresse la liste d’axiomes formels qui précisent les règles qui les
régissent. Les Grecs ont expérimenté quelque chose d’analogue avec un problème
qui les intéressait : expliquer ce qu’étaient les droites n’était pas nécessaire, il suffisait de savoir ce que l’on pouvait en faire.
Dans le cas de la théorie des ensembles, ce sont les axiomes de la théorie des ensembles
de Zermelo-Fraenkel qui empêchèrent l’apparition d’ensembles trop « gros » pour le
système auquel ils appartenaient. C’était un moyen efficace d’interdire l’apparition
d’une créature aussi dangereuse que l’ensemble de tous les ensembles.
Le théorème de Gödel Le mathématicien autrichien Kurt Gödel anéantit les
espoirs de tous ceux qui se réfugiaient dans les systèmes axiomatiques formels pour
tenter d’échapper aux paradoxes. En 1931, Gödel prouva que même le plus simple
des systèmes formels contenait des énoncés dont on ne pouvait dire de l’intérieur de
ce même système s’ils étaient vrais ou non. Plus simplement, il s’agissait d’énoncés
qui échappaient aux axiomes du système auxquels ils appartenaient. C’étaient des
énoncés indécidables. On appelle pour cette raison le théorème de Gödel « le théorème de l’incomplétude ». Ce résultat s’appliquait au système de Zermelo-Fraenkel
ainsi qu’à d’autres.
Les nombres cardinaux Le nombre d’éléments d’un ensemble fini est facile
à trouver, par exemple A = {1, 2, 3, 4, 5} comporte 5 éléments, ou bien on dit que
son cardinal est égale à 5, ce qui s’écrit card A = 5. En gros, le cardinal est la mesure
de la « taille » d’un ensemble.
Selon la théorie des ensembles de Cantor, l’ensemble des fractions Q et celui des
nombres réels R sont très différents. L’ensemble Q est dénombrable alors que
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Il demanda ensuite : « Est-ce que S ∈ S ? » Si la réponse est « Oui », alors S doit
satisfaire la définition de S, et donc S ∉ S. D’un autre côté, si la réponse est «Non »
et que S ∉ S, alors S ne satisfait pas la relation qui définit S, à savoir S ∉ S, et donc
S ∈ S. Le problème de Russell se terminait par cette proposition, qui est à la base du
paradoxe de Russell.
S ∈ S si et seulement si S ∉ S.
C’est un problème semblable au « paradoxe du barbier », où un barbier annonce
aux gens de son village qu’il ne rasera que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. La
question qui se pose est alors de savoir si le barbier doit se raser lui-même. S’il ne se
rase pas lui-même, alors oui, il le doit. S’il se rase lui-même, alors il ne le doit pas.
Il est impératif d’éviter de tels paradoxes, que l’on appelle poliment des « antinomies ». Pour les mathématiciens, on ne peut tout simplement pas autoriser des
systèmes qui génèrent des contradictions. Russell créa une théorie des types qui
n’autorise la relation a ∈ A que si a est d’un type strictement inférieur à A, ce qui
permet ainsi d’éviter des relations telles que S ∈ S.
Une autre manière d’éviter ces antinomies était de formaliser la théorie des
ensembles. Dans cette approche, on ne se préoccupe pas de la nature des ensembles
eux-mêmes, mais on dresse la liste d’axiomes formels qui précisent les règles qui les
régissent. Les Grecs ont expérimenté quelque chose d’analogue avec un problème
qui les intéressait : expliquer ce qu’étaient les droites n’était pas nécessaire, il suffisait de savoir ce que l’on pouvait en faire.
Dans le cas de la théorie des ensembles, ce sont les axiomes de la théorie des ensembles
de Zermelo-Fraenkel qui empêchèrent l’apparition d’ensembles trop « gros » pour le
système auquel ils appartenaient. C’était un moyen efficace d’interdire l’apparition
d’une créature aussi dangereuse que l’ensemble de tous les ensembles.
Le théorème de Gödel Le mathématicien autrichien Kurt Gödel anéantit les
espoirs de tous ceux qui se réfugiaient dans les systèmes axiomatiques formels pour
tenter d’échapper aux paradoxes. En 1931, Gödel prouva que même le plus simple
des systèmes formels contenait des énoncés dont on ne pouvait dire de l’intérieur de
ce même système s’ils étaient vrais ou non. Plus simplement, il s’agissait d’énoncés
qui échappaient aux axiomes du système auxquels ils appartenaient. C’étaient des
énoncés indécidables. On appelle pour cette raison le théorème de Gödel « le théorème de l’incomplétude ». Ce résultat s’appliquait au système de Zermelo-Fraenkel
ainsi qu’à d’autres.
Les nombres cardinaux Le nombre d’éléments d’un ensemble fini est facile
à trouver, par exemple A = {1, 2, 3, 4, 5} comporte 5 éléments, ou bien on dit que
son cardinal est égale à 5, ce qui s’écrit card A = 5. En gros, le cardinal est la mesure
de la « taille » d’un ensemble.
Selon la théorie des ensembles de Cantor, l’ensemble des fractions Q et celui des
nombres réels R sont très différents. L’ensemble Q est dénombrable alors que