Les ensembles 73
1931
Gödel prouve que tout système
axiomatique mathématique formel
contient des affirmations indécidables.
1939
Le pseudonyme
Bourbaki est utilisé
pour la première fois.
1964
Cohen prouve l’indépendance
de l’hypothèse du continu.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} et B = {1, 3, 5, 7, 10, 21}, l’union
des deux ensembles s’écrit A ∙ B = {1, 2, 3, 4, 5,
7, 10, 21} et leur intersection A ∙ B = {1, 3, 5}. Si
l’on considère qu’un ensemble A fait partie d’un
ensemble universel E, on peut définir l’ensemble
complémentaire ¬ A comme l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Les opérations ∙ et ∙ sur des ensembles fonctionnent de manière analogue aux opérations × et
+ en algèbre. Si on leur ajoute l’opération complémentaire ¬, on peut dire qu’il y a une « algèbre des
ensembles ». Augustus De Morgan, mathématicien
britannique né en Inde, formula des lois pour montrer le fonctionnement de toutes ces opérations.
Rédigées dans notre notation moderne, les lois de
De Morgan s’écrivent ainsi :
¬ (A ∙ B) = (¬ A) ∙ (¬ B)
et
¬ (A ∙ B) = (¬ A) ∙ (¬ B)
Les paradoxes Il n’existe pas de problèmes
portant sur les ensembles finis parce que l’on peut
dénombrer leurs éléments. Ainsi, A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Mais à l’époque de Cantor, les ensembles infinis
représentaient eux une véritable gageure.
Cantor définit les ensembles comme un groupe d’éléments dotés d’une propriété
spécifique. Pensez à l’ensemble {11, 12, 13, 14, 15…}, de tous les nombres entiers
strictement supérieurs à 10. Parce que l’ensemble est infini, on ne peut pas dénombrer tous ses éléments, mais il nous est toujours possible de définir cet ensemble
grâce à la propriété que partagent tous ses éléments. À l’instar de Cantor, on peut
écrire l’ensemble sous la forme A = {x ∙ x est un nombre entier > 10}, où la barre
signifie « tel que ».
Initialement, dans la théorie des ensembles, on pouvait aussi avoir un ensemble
de choses abstraites tel que A = {x ∙ x est une chose abstraite}. Dans ce cas, A est luimême une chose abstraite, c’est pourquoi on peut avoir A ∈ A. Mais l’autorisation
de cette relation fait surgir de sérieux problèmes. Le philosophe et mathématicien
britannique Bertrand Russell eut l’idée d’un ensemble S qui contiendrait toutes les
choses qui ne se contiennent pas elles-mêmes. En notation symbolique, on l’écrit
S = {x ∙ x ∉ x}.
A
A
B
E
E
Intersection de A et de B
Complément de A
1931
Gödel prouve que tout système
axiomatique mathématique formel
contient des affirmations indécidables.
1939
Le pseudonyme
Bourbaki est utilisé
pour la première fois.
1964
Cohen prouve l’indépendance
de l’hypothèse du continu.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} et B = {1, 3, 5, 7, 10, 21}, l’union
des deux ensembles s’écrit A ∙ B = {1, 2, 3, 4, 5,
7, 10, 21} et leur intersection A ∙ B = {1, 3, 5}. Si
l’on considère qu’un ensemble A fait partie d’un
ensemble universel E, on peut définir l’ensemble
complémentaire ¬ A comme l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Les opérations ∙ et ∙ sur des ensembles fonctionnent de manière analogue aux opérations × et
+ en algèbre. Si on leur ajoute l’opération complémentaire ¬, on peut dire qu’il y a une « algèbre des
ensembles ». Augustus De Morgan, mathématicien
britannique né en Inde, formula des lois pour montrer le fonctionnement de toutes ces opérations.
Rédigées dans notre notation moderne, les lois de
De Morgan s’écrivent ainsi :
¬ (A ∙ B) = (¬ A) ∙ (¬ B)
et
¬ (A ∙ B) = (¬ A) ∙ (¬ B)
Les paradoxes Il n’existe pas de problèmes
portant sur les ensembles finis parce que l’on peut
dénombrer leurs éléments. Ainsi, A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Mais à l’époque de Cantor, les ensembles infinis
représentaient eux une véritable gageure.
Cantor définit les ensembles comme un groupe d’éléments dotés d’une propriété
spécifique. Pensez à l’ensemble {11, 12, 13, 14, 15…}, de tous les nombres entiers
strictement supérieurs à 10. Parce que l’ensemble est infini, on ne peut pas dénombrer tous ses éléments, mais il nous est toujours possible de définir cet ensemble
grâce à la propriété que partagent tous ses éléments. À l’instar de Cantor, on peut
écrire l’ensemble sous la forme A = {x ∙ x est un nombre entier > 10}, où la barre
signifie « tel que ».
Initialement, dans la théorie des ensembles, on pouvait aussi avoir un ensemble
de choses abstraites tel que A = {x ∙ x est une chose abstraite}. Dans ce cas, A est luimême une chose abstraite, c’est pourquoi on peut avoir A ∈ A. Mais l’autorisation
de cette relation fait surgir de sérieux problèmes. Le philosophe et mathématicien
britannique Bertrand Russell eut l’idée d’un ensemble S qui contiendrait toutes les
choses qui ne se contiennent pas elles-mêmes. En notation symbolique, on l’écrit
S = {x ∙ x ∉ x}.
A
A
B
E
E
Intersection de A et de B
Complément de A