Les preuves 71
C’est ici qu’intervient la récurrence. Pour parler simplement, c’est la méthode des
dominos. Cette métaphore s’applique à des dominos posés debout les uns derrière
les autres. Si un domino tombe, il renversera son voisin. C’est évident. Tout ce dont
nous avons besoin pour les faire tous tomber, c’est que le premier tombe. On peut
appliquer cette manière de penser au problème des nombres impairs. L’assertion
Pn dit que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n
2 . La récurrence
mathématique produit une réaction en chaîne par laquelle P 1 , P 2 , P 3 , … seront
toutes vraies. La proposition P 1 est évidemment vraie parce que 1 = 2
2 . Ensuite, P 2
est vraie parce que 1 + 3 = 1
2 + 3 = 2
2 , P 3 est vraie parce que 1 + 3 + 5 = 2
2 + 5 = 3
2 et
P 4 est vraie parce que 1 + 3 + 5 + 7 = 3
2 + 7 = 4
2 . On utilise un résultat pour passer au
suivant. Ce processus peut être formalisé pour encadrer la méthode de récurrence
mathématique.
Les difficultés des preuves Les preuves se présentent dans toutes sortes de
styles et de tailles. Certaines sont courtes et efficaces, comme celles que l’on trouve
dans les manuels. D’autres, qui exposent les toutes dernières recherches dans leurs
moindres détails, font l’objet d’un traitement spécifique dans des revues qui leur
consacrent des milliers de pages. Très peu de gens peuvent alors se faire une idée du
raisonnement complet.
De plus, certains fondements posent parfois problème. Par exemple, un petit
nombre de mathématiciens ne sont pas satisfaits de la méthode de raisonnement
par l’absurde lorsqu’il s’agit de prouver l’existence. Si la proposition selon laquelle
il n’y a pas de solution à une équation conduit à une contradiction, est-ce suffisant pour prouver qu’une solution existe ? Les détracteurs de cette méthode
affirmeraient que cette logique n’est qu’un tour de passe-passe et ne nous dit pas
comment construire vraiment une solution concrète. Les « Constructivistes », qui
appartiennent à plusieurs courants, sont les mathématiciens qui stipulent que la
méthode utilisée dans la preuve ne donne pas « une signification numérique ». Ils
couvrent de mépris les mathématiciens classiques qui considèrent la méthode de
récurrence comme une arme essentielle dans l’arsenal mathématique. D’un autre
côté, les mathématiciens les plus traditionnels diraient que proscrire ce type de
raisonnement revient à se priver d’un outil bien utile, et, de plus, que rejeter tant
de résultats prouvés au moyen de cette méthode indirecte ne laisserait plus que la
trame de la tapisserie mathématique.
l’idée clé
Certifié conforme
C’est ici qu’intervient la récurrence. Pour parler simplement, c’est la méthode des
dominos. Cette métaphore s’applique à des dominos posés debout les uns derrière
les autres. Si un domino tombe, il renversera son voisin. C’est évident. Tout ce dont
nous avons besoin pour les faire tous tomber, c’est que le premier tombe. On peut
appliquer cette manière de penser au problème des nombres impairs. L’assertion
Pn dit que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n
2 . La récurrence
mathématique produit une réaction en chaîne par laquelle P 1 , P 2 , P 3 , … seront
toutes vraies. La proposition P 1 est évidemment vraie parce que 1 = 2
2 . Ensuite, P 2
est vraie parce que 1 + 3 = 1
2 + 3 = 2
2 , P 3 est vraie parce que 1 + 3 + 5 = 2
2 + 5 = 3
2 et
P 4 est vraie parce que 1 + 3 + 5 + 7 = 3
2 + 7 = 4
2 . On utilise un résultat pour passer au
suivant. Ce processus peut être formalisé pour encadrer la méthode de récurrence
mathématique.
Les difficultés des preuves Les preuves se présentent dans toutes sortes de
styles et de tailles. Certaines sont courtes et efficaces, comme celles que l’on trouve
dans les manuels. D’autres, qui exposent les toutes dernières recherches dans leurs
moindres détails, font l’objet d’un traitement spécifique dans des revues qui leur
consacrent des milliers de pages. Très peu de gens peuvent alors se faire une idée du
raisonnement complet.
De plus, certains fondements posent parfois problème. Par exemple, un petit
nombre de mathématiciens ne sont pas satisfaits de la méthode de raisonnement
par l’absurde lorsqu’il s’agit de prouver l’existence. Si la proposition selon laquelle
il n’y a pas de solution à une équation conduit à une contradiction, est-ce suffisant pour prouver qu’une solution existe ? Les détracteurs de cette méthode
affirmeraient que cette logique n’est qu’un tour de passe-passe et ne nous dit pas
comment construire vraiment une solution concrète. Les « Constructivistes », qui
appartiennent à plusieurs courants, sont les mathématiciens qui stipulent que la
méthode utilisée dans la preuve ne donne pas « une signification numérique ». Ils
couvrent de mépris les mathématiciens classiques qui considèrent la méthode de
récurrence comme une arme essentielle dans l’arsenal mathématique. D’un autre
côté, les mathématiciens les plus traditionnels diraient que proscrire ce type de
raisonnement revient à se priver d’un outil bien utile, et, de plus, que rejeter tant
de résultats prouvés au moyen de cette méthode indirecte ne laisserait plus que la
trame de la tapisserie mathématique.
l’idée clé
Certifié conforme