50 clés pour comprendre les maths
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cela signifie que 6 × 6 est un multiple de 2, et que c’est donc un nombre pair. Mais
ce raisonnement peut s’appliquer à d’autres nombres que 6. Ainsi, nous aurions pu
commencer avec n = 2 × k pour obtenir
n × n = n × 2 × k = 2 × n × k = 2 × (k + k + … + k)
et conclure que n × n est pair. Notre preuve est maintenant complète. Autrefois, les
mathématiciens comme Euclide utilisaient la formule « QED » à la fin d’une preuve
pour dire que la démonstration était faite. C’est une abréviation qui signifie en latin
quod erat demonstrandum (ce qui devait être démontré). De nos jours, ils utilisent un
carré ¨ (n autrefois). C’est ce que l’on appelle parfois un halmos, du nom de Paul
Halmos qui l’a introduit.
La méthode indirecte Avec cette méthode, on prétend que la conclusion
est fausse et, à l’aide d’un raisonnement logique, on démontre que cela contredit
l’hypothèse. Prouvons le résultat précédent en suivant cette méthode.
Notre hypothèse est que n est pair et nous prétendrons que n × n est impair. On peut
écrire n × n = n + n + … + n, n fois. Cela signifie que n ne peut pas être pair, parce
que s’il l’était, n × n serait pair. Donc n est impair, ce qui contredit l’hypothèse. ¨
Ce que l’on vient de voir est en fait une version douce de la méthode indirecte. La
version dure de cette méthode, connue sous le nom de reductio ad absurdum (raisonnement par l’absurde), était très appréciée des Grecs. À l’Académie d’Athènes, Socrate
et Platon aimaient prouver un point litigieux en enveloppant leurs opposants dans les
filets de la contradiction pour qu’il ne reste au final que l’argument qu’ils essayaient
de prouver. La preuve classique que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel
relève de cette méthode. On suppose d’abord que la racine carrée de 2 est un nombre
rationnel et c’est de là que découle une contradiction à l’hypothèse de départ.
Le raisonnement par récurrence (ou induction mathématique) La récurrence est une façon efficace de démontrer que des assertions successives P1, P2, P3, … sont vraies. C’est ce qu’Augustus De Morgan a admis dans
les années 1830 lorsqu’il a formalisé ce qui était connu depuis plusieurs centaines
d’années. Cette technique spécifique (qui ne doit pas être confondue avec l’induction utilisée dans les sciences expérimentales) est largement utilisée pour prouver
des propositions qui contiennent des nombres entiers naturels. Elle est particulièrement utile dans la théorie des graphes, la théorie des nombres, et de manière
générale, en informatique. Pour prendre un exemple concret, pensez au problème
de l’addition des nombres impairs. L’addition des trois premiers nombres impairs
1 + 3 + 5 donne 9 alors que la somme des quatre premiers 1 + 3 + 5 + 7 donne 16.
Mais 9 est égal à 3 × 3 = 3
2 et 16 est égal à 4 × 4 = 4
2
. Se pourrait-il donc que la somme
des n premiers nombres impairs soit égale à n
2 ? Si nous essayons avec une valeur de
n choisie de manière aléatoire, par exemple n = 7, on trouve en effet que la somme
des sept premiers nombres impairs est égale à 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49, ou 7
2 .
Mais est-ce un schéma suivi par toutes les valeurs de n ? Il y a problème, car nous ne
pouvons espérer pouvoir vérifier individuellement un nombre infini de cas.
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cela signifie que 6 × 6 est un multiple de 2, et que c’est donc un nombre pair. Mais
ce raisonnement peut s’appliquer à d’autres nombres que 6. Ainsi, nous aurions pu
commencer avec n = 2 × k pour obtenir
n × n = n × 2 × k = 2 × n × k = 2 × (k + k + … + k)
et conclure que n × n est pair. Notre preuve est maintenant complète. Autrefois, les
mathématiciens comme Euclide utilisaient la formule « QED » à la fin d’une preuve
pour dire que la démonstration était faite. C’est une abréviation qui signifie en latin
quod erat demonstrandum (ce qui devait être démontré). De nos jours, ils utilisent un
carré ¨ (n autrefois). C’est ce que l’on appelle parfois un halmos, du nom de Paul
Halmos qui l’a introduit.
La méthode indirecte Avec cette méthode, on prétend que la conclusion
est fausse et, à l’aide d’un raisonnement logique, on démontre que cela contredit
l’hypothèse. Prouvons le résultat précédent en suivant cette méthode.
Notre hypothèse est que n est pair et nous prétendrons que n × n est impair. On peut
écrire n × n = n + n + … + n, n fois. Cela signifie que n ne peut pas être pair, parce
que s’il l’était, n × n serait pair. Donc n est impair, ce qui contredit l’hypothèse. ¨
Ce que l’on vient de voir est en fait une version douce de la méthode indirecte. La
version dure de cette méthode, connue sous le nom de reductio ad absurdum (raisonnement par l’absurde), était très appréciée des Grecs. À l’Académie d’Athènes, Socrate
et Platon aimaient prouver un point litigieux en enveloppant leurs opposants dans les
filets de la contradiction pour qu’il ne reste au final que l’argument qu’ils essayaient
de prouver. La preuve classique que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel
relève de cette méthode. On suppose d’abord que la racine carrée de 2 est un nombre
rationnel et c’est de là que découle une contradiction à l’hypothèse de départ.
Le raisonnement par récurrence (ou induction mathématique) La récurrence est une façon efficace de démontrer que des assertions successives P1, P2, P3, … sont vraies. C’est ce qu’Augustus De Morgan a admis dans
les années 1830 lorsqu’il a formalisé ce qui était connu depuis plusieurs centaines
d’années. Cette technique spécifique (qui ne doit pas être confondue avec l’induction utilisée dans les sciences expérimentales) est largement utilisée pour prouver
des propositions qui contiennent des nombres entiers naturels. Elle est particulièrement utile dans la théorie des graphes, la théorie des nombres, et de manière
générale, en informatique. Pour prendre un exemple concret, pensez au problème
de l’addition des nombres impairs. L’addition des trois premiers nombres impairs
1 + 3 + 5 donne 9 alors que la somme des quatre premiers 1 + 3 + 5 + 7 donne 16.
Mais 9 est égal à 3 × 3 = 3
2 et 16 est égal à 4 × 4 = 4
2
. Se pourrait-il donc que la somme
des n premiers nombres impairs soit égale à n
2 ? Si nous essayons avec une valeur de
n choisie de manière aléatoire, par exemple n = 7, on trouve en effet que la somme
des sept premiers nombres impairs est égale à 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49, ou 7
2 .
Mais est-ce un schéma suivi par toutes les valeurs de n ? Il y a problème, car nous ne
pouvons espérer pouvoir vérifier individuellement un nombre infini de cas.