Les preuves 69
1838
De Morgan introduit le terme
« récurrence ».
1967
Bishop prouve des résultats
en utilisant exclusivement
des méthodes constructives.
1976
Imre Lakatos publie un ouvrage
de référence intitulé Preuves et
réfutations.
Le contre-exemple Commençons par faire preuve de scepticisme, méthode qui
consiste à prouver qu’une proposition est incorrecte. Prenons un exemple concret.
Supposons que l’on vous dise que tout nombre multiplié par lui-même donne un
nombre pair. Le croyez-vous ? Avant de nous précipiter pour répondre, il faudrait
faire quelques essais. Si nous prenons un nombre quelconque, 6 par exemple, et que
nous le multiplions par lui-même, ce qui donne 6 × 6 = 36, on trouve que le résultat
est bien un nombre pair. Mais une hirondelle ne fait pas le printemps. L’énoncé
stipule que la proposition est vraie pour tout nombre, et il y en a une infinité. Pour
bien faire, il faudrait essayer avec d’autres exemples. Si l’on prend 9, par exemple, on
trouve 9 × 9 = 81, et 81 est un nombre impair. Cela signifie que la proposition selon
laquelle tout nombre multiplié par lui-même donne un nombre pair est fausse. Un tel
exemple va à l’encontre de l’hypothèse de départ et s’appelle un contre-exemple. Un
contre-exemple à la proposition « tous les cygnes sont blancs » serait un cygne noir.
Une partie de l’amusement que procurent les mathématiques tient dans la recherche
d’un contre-exemple qui viendrait démolir un prétendu théorème.
Si l’on ne parvient pas à trouver de contre-exemple, on peut avoir l’impression
que la proposition est correcte. Il faut alors que le mathématicien change son fusil
d’épaule. Une preuve doit nécessairement être construite et, si l’on veut aller droit
au but, on utilise la méthode directe.
La méthode directe Avec la méthode directe, on s’appuie sur une argumentation logique qui découle de ce qui a déjà été établi, ou de ce qui est supposé
vrai, pour progresser vers la conclusion. Si l’on y parvient, on a un théorème. Il
est impossible de prouver que la multiplication d’un nombre quelconque par luimême donne un nombre pair parce que nous avons déjà prouvé que c’était faux.
Mais nous sommes peut-être capables de conserver quelque chose de cet énoncé. La
différence entre notre premier exemple, 6, et le contre-exemple 9, est que le premier
nombre est pair et que celui du contre-exemple est impair. Changer l’hypothèse est
possible. Notre proposition est donc maintenant : si l’on multiplie un nombre pair
par lui-même, le résultat est un nombre pair.
On commence par tester quelques autres exemples numériques. Cette proposition se vérifie à chaque fois et il est absolument impossible de trouver un contreexemple. On change de tactique pour tenter de le prouver, mais comment faut-il
s’y prendre ? On pourrait d’abord prendre un nombre pair quelconque noté n,
mais comme c’est un peu trop abstrait, nous verrons comment une preuve peut
être établie à partir d’un nombre concret, par exemple 6. Comme vous le savez, un
nombre pair est un multiple de 2. Ainsi, 6 = 2 × 3. Étant donné que 6 × 6 = 6 + 6 + 6
+ 6 + 6 + 6, ou d’une autre façon, 6 × 6 = 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3
ou encore, avec des parenthèses,
6 × 6 = 2 × (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3)
1838
De Morgan introduit le terme
« récurrence ».
1967
Bishop prouve des résultats
en utilisant exclusivement
des méthodes constructives.
1976
Imre Lakatos publie un ouvrage
de référence intitulé Preuves et
réfutations.
Le contre-exemple Commençons par faire preuve de scepticisme, méthode qui
consiste à prouver qu’une proposition est incorrecte. Prenons un exemple concret.
Supposons que l’on vous dise que tout nombre multiplié par lui-même donne un
nombre pair. Le croyez-vous ? Avant de nous précipiter pour répondre, il faudrait
faire quelques essais. Si nous prenons un nombre quelconque, 6 par exemple, et que
nous le multiplions par lui-même, ce qui donne 6 × 6 = 36, on trouve que le résultat
est bien un nombre pair. Mais une hirondelle ne fait pas le printemps. L’énoncé
stipule que la proposition est vraie pour tout nombre, et il y en a une infinité. Pour
bien faire, il faudrait essayer avec d’autres exemples. Si l’on prend 9, par exemple, on
trouve 9 × 9 = 81, et 81 est un nombre impair. Cela signifie que la proposition selon
laquelle tout nombre multiplié par lui-même donne un nombre pair est fausse. Un tel
exemple va à l’encontre de l’hypothèse de départ et s’appelle un contre-exemple. Un
contre-exemple à la proposition « tous les cygnes sont blancs » serait un cygne noir.
Une partie de l’amusement que procurent les mathématiques tient dans la recherche
d’un contre-exemple qui viendrait démolir un prétendu théorème.
Si l’on ne parvient pas à trouver de contre-exemple, on peut avoir l’impression
que la proposition est correcte. Il faut alors que le mathématicien change son fusil
d’épaule. Une preuve doit nécessairement être construite et, si l’on veut aller droit
au but, on utilise la méthode directe.
La méthode directe Avec la méthode directe, on s’appuie sur une argumentation logique qui découle de ce qui a déjà été établi, ou de ce qui est supposé
vrai, pour progresser vers la conclusion. Si l’on y parvient, on a un théorème. Il
est impossible de prouver que la multiplication d’un nombre quelconque par luimême donne un nombre pair parce que nous avons déjà prouvé que c’était faux.
Mais nous sommes peut-être capables de conserver quelque chose de cet énoncé. La
différence entre notre premier exemple, 6, et le contre-exemple 9, est que le premier
nombre est pair et que celui du contre-exemple est impair. Changer l’hypothèse est
possible. Notre proposition est donc maintenant : si l’on multiplie un nombre pair
par lui-même, le résultat est un nombre pair.
On commence par tester quelques autres exemples numériques. Cette proposition se vérifie à chaque fois et il est absolument impossible de trouver un contreexemple. On change de tactique pour tenter de le prouver, mais comment faut-il
s’y prendre ? On pourrait d’abord prendre un nombre pair quelconque noté n,
mais comme c’est un peu trop abstrait, nous verrons comment une preuve peut
être établie à partir d’un nombre concret, par exemple 6. Comme vous le savez, un
nombre pair est un multiple de 2. Ainsi, 6 = 2 × 3. Étant donné que 6 × 6 = 6 + 6 + 6
+ 6 + 6 + 6, ou d’une autre façon, 6 × 6 = 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 3
ou encore, avec des parenthèses,
6 × 6 = 2 × (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3)