50 clés pour comprendre les maths
68
chronologie
Vers 300 av. J.-C.
Les Éléments d’Euclide fournissent le
modèle des preuves mathématiques.
1637 ap. J.-C.
Descartes présente la rigueur
mathématique comme un modèle
à suivre dans son Discours
de la méthode.
Il n’est pas facile d’établir des preuves. On les atteint souvent au terme d’un gros travail d’exploration qui parfois nous entraîne sur de fausses pistes. Les efforts déployés
pour apporter ces preuves occupent l’essentiel de la vie du mathématicien. Une
preuve réussie porte l’estampille de ce dernier, et fait accéder la conjecture, qui n’est
rien d’autre qu’une idée géniale ou une simple supposition, au statut de théorème.
Les qualités recherchées dans une preuve sont la rigueur, la limpidité mais également l’élégance. À cela s’ajoute l’ingéniosité. Une bonne preuve est « une preuve
qui aiguise notre esprit de discernement », mais il est aussi préférable d’avoir une
preuve quelle qu’elle soit que de ne pas en avoir du tout. En effet, avec une progression qui repose sur des faits non prouvés, on court le risque de construire les
théories sur l’équivalent mathématique des sables mouvants.
Non pas qu’une preuve soit éternelle. Il faut parfois la réviser à la lumière des nouveaux développements des concepts auxquels elle se rattache.
Qu’est-ce qu’une preuve ? Lorsque vous lisez ou entendez parler d’un résultat
mathématique, le croyez-vous ? Qu’est-ce qui pourrait vous inciter à lui accorder crédit ?
On pourrait répondre que ce serait un argument solide d’un point de vue logique qui
part des idées que vous acceptez pour aller jusqu’à la proposition sur laquelle vous vous
interrogez. Ce serait ce que les mathématiciens appellent une preuve, qui a la particularité de généralement mêler langage courant et logique stricte. Selon la qualité de la
preuve, ou bien vous êtes convaincu, ou bien vous demeurez sceptique.
Les principaux types de preuves que l’on utilise en mathématiques sont : la méthode
du contre-exemple, la méthode directe, la méthode indirecte et le raisonnement par
récurrence.
Les mathématiciens essaient de justifier leurs affirmations en apportant
des preuves. La recherche d’arguments rationnels irréfutables est le moteur
des mathématiques pures. Des enchaînements de déductions correctes tirées de
ce qui est connu ou supposé conduisent le mathématicien à une conclusion qui
vient alors prendre place parmi tous les produits mathématiques dûment certifiés.
Les preuves
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chronologie
Vers 300 av. J.-C.
Les Éléments d’Euclide fournissent le
modèle des preuves mathématiques.
1637 ap. J.-C.
Descartes présente la rigueur
mathématique comme un modèle
à suivre dans son Discours
de la méthode.
Il n’est pas facile d’établir des preuves. On les atteint souvent au terme d’un gros travail d’exploration qui parfois nous entraîne sur de fausses pistes. Les efforts déployés
pour apporter ces preuves occupent l’essentiel de la vie du mathématicien. Une
preuve réussie porte l’estampille de ce dernier, et fait accéder la conjecture, qui n’est
rien d’autre qu’une idée géniale ou une simple supposition, au statut de théorème.
Les qualités recherchées dans une preuve sont la rigueur, la limpidité mais également l’élégance. À cela s’ajoute l’ingéniosité. Une bonne preuve est « une preuve
qui aiguise notre esprit de discernement », mais il est aussi préférable d’avoir une
preuve quelle qu’elle soit que de ne pas en avoir du tout. En effet, avec une progression qui repose sur des faits non prouvés, on court le risque de construire les
théories sur l’équivalent mathématique des sables mouvants.
Non pas qu’une preuve soit éternelle. Il faut parfois la réviser à la lumière des nouveaux développements des concepts auxquels elle se rattache.
Qu’est-ce qu’une preuve ? Lorsque vous lisez ou entendez parler d’un résultat
mathématique, le croyez-vous ? Qu’est-ce qui pourrait vous inciter à lui accorder crédit ?
On pourrait répondre que ce serait un argument solide d’un point de vue logique qui
part des idées que vous acceptez pour aller jusqu’à la proposition sur laquelle vous vous
interrogez. Ce serait ce que les mathématiciens appellent une preuve, qui a la particularité de généralement mêler langage courant et logique stricte. Selon la qualité de la
preuve, ou bien vous êtes convaincu, ou bien vous demeurez sceptique.
Les principaux types de preuves que l’on utilise en mathématiques sont : la méthode
du contre-exemple, la méthode directe, la méthode indirecte et le raisonnement par
récurrence.
Les mathématiciens essaient de justifier leurs affirmations en apportant
des preuves. La recherche d’arguments rationnels irréfutables est le moteur
des mathématiques pures. Des enchaînements de déductions correctes tirées de
ce qui est connu ou supposé conduisent le mathématicien à une conclusion qui
vient alors prendre place parmi tous les produits mathématiques dûment certifiés.
Les preuves
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