La logique 67
Le raisonnement est-il valide ou non ? Supposons que la conclusion P soit fausse
mais que les prémisses soient vraies. Si l’on peut montrer qu’il y a contradiction,
cela signifie que le raisonnement est certainement valide. Il sera donc impossible
que les prémisses soient vraies mais la conclusion fausse. Si P est fausse, alors d’après
la première prémisse V ⇒ P, V doit être fausse. Comme V ⋁ S est vraie, le fait que
V soit fausse signifie que S est vraie. De la troisième prémisse S ⇒ C, on déduit que
C est vraie. Autrement dit, ¬ C est fausse. Cela contredit le fait que ¬ C, la dernière
prémisse, puisse être supposée vraie. Le contenu des assertions de l’éditorial peut
toujours être contesté, mais la structure du raisonnement est valide.
D’autres logiques Gottlob Frege, C.S. Peirce et Ernst Schröder
introduisirent la quantification dans la logique propositionnelle
pour construire « une logique des prédicats du premier ordre » (parce
qu’elle est fondée sur des variables). Elle utilise le quantificateur universel ∀, pour signifier « quel que soit », et le quantificateur existentiel ∃, pour dire « il existe ».
Une idée nouvelle est apparue en logique : la logique floue. On imagine une pensée confuse, mais elle a permis au contraire un élargissement des frontières traditionnelles de la logique. La logique traditionnelle repose
sur des ensembles. Ainsi, nous avons eu l’ensemble des épagneuls, l’ensemble des
chiens, et l’ensemble des objets marron. Nous savons de manière certaine ce qui
est inclus dans l’ensemble et ce qui ne l’est pas. Si nous croisons un rottweiler pure
race dans le parc, nous pouvons être sûrs qu’il n’appartient pas à l’ensemble des
épagneuls.
La théorie des ensembles flous traite de ce qui apparaît comme des ensembles définis
de manière imprécise. Et si l’on avait l’ensemble des gros épagneuls ? Combien doit
peser un épagneul pour appartenir à cet ensemble ? Avec les ensembles flous, il y a
une gradation de l’appartenance, tandis que la frontière qui sépare ce qui est dans
l’ensemble de ce qui ne l’est pas reste floue. Les mathématiques nous autorisent à
être précis en ce qui concerne le flou. La logique est loin d’être une matière austère. Elle a évolué depuis Aristote et constitue aujourd’hui un domaine actif de la
recherche moderne et de ses applications.
⋁ ou
⋀ et
¬ n’est pas
⇒ implique
∀ quel que soit
∃ il existe
l’idée clé
Le cheminement clair
de la pensée
Le raisonnement est-il valide ou non ? Supposons que la conclusion P soit fausse
mais que les prémisses soient vraies. Si l’on peut montrer qu’il y a contradiction,
cela signifie que le raisonnement est certainement valide. Il sera donc impossible
que les prémisses soient vraies mais la conclusion fausse. Si P est fausse, alors d’après
la première prémisse V ⇒ P, V doit être fausse. Comme V ⋁ S est vraie, le fait que
V soit fausse signifie que S est vraie. De la troisième prémisse S ⇒ C, on déduit que
C est vraie. Autrement dit, ¬ C est fausse. Cela contredit le fait que ¬ C, la dernière
prémisse, puisse être supposée vraie. Le contenu des assertions de l’éditorial peut
toujours être contesté, mais la structure du raisonnement est valide.
D’autres logiques Gottlob Frege, C.S. Peirce et Ernst Schröder
introduisirent la quantification dans la logique propositionnelle
pour construire « une logique des prédicats du premier ordre » (parce
qu’elle est fondée sur des variables). Elle utilise le quantificateur universel ∀, pour signifier « quel que soit », et le quantificateur existentiel ∃, pour dire « il existe ».
Une idée nouvelle est apparue en logique : la logique floue. On imagine une pensée confuse, mais elle a permis au contraire un élargissement des frontières traditionnelles de la logique. La logique traditionnelle repose
sur des ensembles. Ainsi, nous avons eu l’ensemble des épagneuls, l’ensemble des
chiens, et l’ensemble des objets marron. Nous savons de manière certaine ce qui
est inclus dans l’ensemble et ce qui ne l’est pas. Si nous croisons un rottweiler pure
race dans le parc, nous pouvons être sûrs qu’il n’appartient pas à l’ensemble des
épagneuls.
La théorie des ensembles flous traite de ce qui apparaît comme des ensembles définis
de manière imprécise. Et si l’on avait l’ensemble des gros épagneuls ? Combien doit
peser un épagneul pour appartenir à cet ensemble ? Avec les ensembles flous, il y a
une gradation de l’appartenance, tandis que la frontière qui sépare ce qui est dans
l’ensemble de ce qui ne l’est pas reste floue. Les mathématiques nous autorisent à
être précis en ce qui concerne le flou. La logique est loin d’être une matière austère. Elle a évolué depuis Aristote et constitue aujourd’hui un domaine actif de la
recherche moderne et de ses applications.
⋁ ou
⋀ et
¬ n’est pas
⇒ implique
∀ quel que soit
∃ il existe
l’idée clé
Le cheminement clair
de la pensée