50 clés pour comprendre les maths
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1840, un gros travail fut réalisé dans ce domaine par des mathématiciens tels que
Boole et Augustus de Morgan.
Faisons l’essai avec une proposition a, où a représente la proposition « Franck est un épagneul ». La proposition a peut être vraie ou
fausse. Si je pense à mon chien qui s’appelle Franck et qui est aussi
un épagneul, alors la proposition est vraie (V), mais si je pense que
cette proposition s’applique à mon cousin dont le nom est également
Franck, alors la proposition est fausse (F). La vérité d’une proposition
dépend de ce à quoi elle fait référence.
Si nous avons une autre proposition notée b telle que « Esther est
un chat », alors on peut combiner ces deux propositions de plusieurs
manières. L’une de ces combinaisons peut s’écrire sous la forme
a ⋁ b. Le connecteur logique ⋁ correspond à « ou » dont la signification en logique diffère légèrement de celle de notre « ou » de tous
les jours. En logique, a ⋁ b est vraie si l’on a ou bien « Fred est un
épagneul » est vraie, ou bien « Esther est un chat » est vraie, ou bien si
les deux propositions sont vraies ; elle est fausse uniquement lorsque les deux
propositions a et b sont fausses. Cette conjonction de propositions peut se
résumer dans une table de vérité.
On peut aussi combiner des propositions avec « et », que l’on écrit sous la
forme a ⋀ b, ainsi qu’avec « non « que l’on écrit ¬ a. L’algèbre de la logique
devient limpide lorsque l’on combine ces propositions avec ces différents
connecteurs logiques comme suit : a ⋀ (b ⋁ c). On obtient une relation que l’on
appelle une identité :
a ⋀ (b ⋁ c) ≡ (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ c)
Le symbole ≡ signifie qu’il y a équivalence entre les affirmations
logiques, les deux côtés de l’identité ayant la même table de vérité.
On peut établir un parallèle entre l’algèbre de la logique et l’algèbre
ordinaire parce que les symboles ⋀ et ⋁ jouent le même rôle que × et +
en algèbre ordinaire, où l’on a x × (y + z) = (x × y) + (x × z). Le parallèle
n’est cependant pas total car il y a des exceptions.
D’autres connexions logiques peuvent être définies à l’aide de connecteurs élémentaires de ce genre. Un connecteur bien utile est celui de « l’implication » a ⇒ b, qui
est équivalent à ¬ a ⋁ b et dont la table de vérité est représentée ci-contre.
Si l’on reprend maintenant l’éditorial, on peut l’écrire sous forme symbolique :
V = moins de Voitures sur les routes
P = la Pollution sera acceptable
S = il faut un Système de péage
C = l’été sera vraiment trop Chaud
V ⇒ P
V ⋁ P
S ⇒ C
¬ C
P
a
b
a ⋁ b
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Table de vérité du « ou »
a
b
a ⋀ b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Table de vérité du « et »
a
b
a ⇒ b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Table de vérité
de « l’implication »
a
¬ b
V
F
F
V
Table de vérité
de la négation
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1840, un gros travail fut réalisé dans ce domaine par des mathématiciens tels que
Boole et Augustus de Morgan.
Faisons l’essai avec une proposition a, où a représente la proposition « Franck est un épagneul ». La proposition a peut être vraie ou
fausse. Si je pense à mon chien qui s’appelle Franck et qui est aussi
un épagneul, alors la proposition est vraie (V), mais si je pense que
cette proposition s’applique à mon cousin dont le nom est également
Franck, alors la proposition est fausse (F). La vérité d’une proposition
dépend de ce à quoi elle fait référence.
Si nous avons une autre proposition notée b telle que « Esther est
un chat », alors on peut combiner ces deux propositions de plusieurs
manières. L’une de ces combinaisons peut s’écrire sous la forme
a ⋁ b. Le connecteur logique ⋁ correspond à « ou » dont la signification en logique diffère légèrement de celle de notre « ou » de tous
les jours. En logique, a ⋁ b est vraie si l’on a ou bien « Fred est un
épagneul » est vraie, ou bien « Esther est un chat » est vraie, ou bien si
les deux propositions sont vraies ; elle est fausse uniquement lorsque les deux
propositions a et b sont fausses. Cette conjonction de propositions peut se
résumer dans une table de vérité.
On peut aussi combiner des propositions avec « et », que l’on écrit sous la
forme a ⋀ b, ainsi qu’avec « non « que l’on écrit ¬ a. L’algèbre de la logique
devient limpide lorsque l’on combine ces propositions avec ces différents
connecteurs logiques comme suit : a ⋀ (b ⋁ c). On obtient une relation que l’on
appelle une identité :
a ⋀ (b ⋁ c) ≡ (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ c)
Le symbole ≡ signifie qu’il y a équivalence entre les affirmations
logiques, les deux côtés de l’identité ayant la même table de vérité.
On peut établir un parallèle entre l’algèbre de la logique et l’algèbre
ordinaire parce que les symboles ⋀ et ⋁ jouent le même rôle que × et +
en algèbre ordinaire, où l’on a x × (y + z) = (x × y) + (x × z). Le parallèle
n’est cependant pas total car il y a des exceptions.
D’autres connexions logiques peuvent être définies à l’aide de connecteurs élémentaires de ce genre. Un connecteur bien utile est celui de « l’implication » a ⇒ b, qui
est équivalent à ¬ a ⋁ b et dont la table de vérité est représentée ci-contre.
Si l’on reprend maintenant l’éditorial, on peut l’écrire sous forme symbolique :
V = moins de Voitures sur les routes
P = la Pollution sera acceptable
S = il faut un Système de péage
C = l’été sera vraiment trop Chaud
V ⇒ P
V ⋁ P
S ⇒ C
¬ C
P
a
b
a ⋁ b
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Table de vérité du « ou »
a
b
a ⋀ b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Table de vérité du « et »
a
b
a ⇒ b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Table de vérité
de « l’implication »
a
¬ b
V
F
F
V
Table de vérité
de la négation