50 clés pour comprendre les maths
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Avec le produit en croix, 0 × b = 7 et on aboutit à cette ineptie que 0 = 7. Si l’on
admet la possibilité pour 7/0 d’être un nombre, on risque alors une pagaille numérique à grande échelle. La solution est de dire que 7/0 est indéterminé. La division de 7 (ou de tout autre nombre que 0) par 0 ne débouche sur aucune réponse
acceptable et c’est pourquoi cette opération n’est tout simplement pas autorisée. De
manière similaire, il n’est pas permis de placer une virgule au « mi,lieu » d’un mot
sans glisser dans l’absurde.
Le mathématicien indien Bhaskara au xii
e siècle, à la suite de Brahmagupta, n’écartait pas la division par 0 et suggérait qu’un nombre divisé par 0 était infini. Ce raisonnement se tient parce que si l’on divise un nombre par un très petit nombre, le
résultat obtenu est très grand. Par exemple, 7 divisé par 1/10 est égal à 70 et 7 divisé
par 1/100 donne 700. Plus on réduit le nombre du dénominateur, plus le nombre
que l’on obtient est grand. Si l’on allait dans la petitesse ultime en prenant 0 luimême, la réponse serait l’infini. En adoptant cette forme de raisonnement, nous
nous trouvons obligés d’expliquer un concept plus bizarre encore, à savoir celui de
l’infini. Se débattre avec l’infini n’aide pas ; l’infini (symbolisé aujourd’hui par ∞)
ne suit pas les règles habituelles de l’arithmétique et n’est pas un nombre au sens
habituel du terme.
Si 7/0 pose problème, que faire alors de l’encore plus bizarre 0/0 ? Si 0/0 = c, avec
le produit en croix on obtient l’équation 0 = 0 × c et donc 0 = 0. Cela n’apporte
pas grand-chose, mais ce n’est pas absurde non plus. En fait, c peut être un nombre
quelconque et ainsi, nous ne débouchons pas sur une impossibilité. Nous arrivons
à la conclusion que 0/0 peut prendre n’importe quelle valeur, finie ou infinie ; les
spécialistes parlent de « forme indéterminée ».
Pour résumer, l’étude de la division par zéro amène à la conclusion qu’il est préférable
d’exclure cette opération de tous les calculs. L’arithmétique se porte tout aussi bien
sans elle.
Pourquoi utiliser le zéro ? Il était tout simplement impossible de s’en
passer. Les progrès de la science en dépendaient. On parle du degré zéro de longitude, du degré zéro sur l’échelle des températures et, de la même manière, de
l’énergie du point zéro et du zéro absolu. Cette notion est entrée dans le langage
courant avec des idées telles que le risque zéro et la tolérance zéro.
Une plus grande utilisation pourrait cependant en être faite. Si vous quittez la 5
e
avenue à New York et pénétrez dans l’Empire State Building, vous vous retrouvez
dans le magnifique hall d’entrée au niveau 1. On utilise la capacité des nombres à
s’ordonner, le 1 étant utilisé pour désigner le « premier » étage, le 2 pour désigner le
« second » et ainsi de suite jusqu’à 102 pour le « cent deuxième » étage. En Europe,
le rez-de-chaussée n’est en fait rien d’autre qu’un étage 0 que l’on a cependant
quelques répugnances à appeler ainsi.
Les mathématiques ne pourraient pas fonctionner sans le zéro. C’est même un élément fondamental dans les concepts mathématiques qui régissent notre système
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Avec le produit en croix, 0 × b = 7 et on aboutit à cette ineptie que 0 = 7. Si l’on
admet la possibilité pour 7/0 d’être un nombre, on risque alors une pagaille numérique à grande échelle. La solution est de dire que 7/0 est indéterminé. La division de 7 (ou de tout autre nombre que 0) par 0 ne débouche sur aucune réponse
acceptable et c’est pourquoi cette opération n’est tout simplement pas autorisée. De
manière similaire, il n’est pas permis de placer une virgule au « mi,lieu » d’un mot
sans glisser dans l’absurde.
Le mathématicien indien Bhaskara au xii
e siècle, à la suite de Brahmagupta, n’écartait pas la division par 0 et suggérait qu’un nombre divisé par 0 était infini. Ce raisonnement se tient parce que si l’on divise un nombre par un très petit nombre, le
résultat obtenu est très grand. Par exemple, 7 divisé par 1/10 est égal à 70 et 7 divisé
par 1/100 donne 700. Plus on réduit le nombre du dénominateur, plus le nombre
que l’on obtient est grand. Si l’on allait dans la petitesse ultime en prenant 0 luimême, la réponse serait l’infini. En adoptant cette forme de raisonnement, nous
nous trouvons obligés d’expliquer un concept plus bizarre encore, à savoir celui de
l’infini. Se débattre avec l’infini n’aide pas ; l’infini (symbolisé aujourd’hui par ∞)
ne suit pas les règles habituelles de l’arithmétique et n’est pas un nombre au sens
habituel du terme.
Si 7/0 pose problème, que faire alors de l’encore plus bizarre 0/0 ? Si 0/0 = c, avec
le produit en croix on obtient l’équation 0 = 0 × c et donc 0 = 0. Cela n’apporte
pas grand-chose, mais ce n’est pas absurde non plus. En fait, c peut être un nombre
quelconque et ainsi, nous ne débouchons pas sur une impossibilité. Nous arrivons
à la conclusion que 0/0 peut prendre n’importe quelle valeur, finie ou infinie ; les
spécialistes parlent de « forme indéterminée ».
Pour résumer, l’étude de la division par zéro amène à la conclusion qu’il est préférable
d’exclure cette opération de tous les calculs. L’arithmétique se porte tout aussi bien
sans elle.
Pourquoi utiliser le zéro ? Il était tout simplement impossible de s’en
passer. Les progrès de la science en dépendaient. On parle du degré zéro de longitude, du degré zéro sur l’échelle des températures et, de la même manière, de
l’énergie du point zéro et du zéro absolu. Cette notion est entrée dans le langage
courant avec des idées telles que le risque zéro et la tolérance zéro.
Une plus grande utilisation pourrait cependant en être faite. Si vous quittez la 5
e
avenue à New York et pénétrez dans l’Empire State Building, vous vous retrouvez
dans le magnifique hall d’entrée au niveau 1. On utilise la capacité des nombres à
s’ordonner, le 1 étant utilisé pour désigner le « premier » étage, le 2 pour désigner le
« second » et ainsi de suite jusqu’à 102 pour le « cent deuxième » étage. En Europe,
le rez-de-chaussée n’est en fait rien d’autre qu’un étage 0 que l’on a cependant
quelques répugnances à appeler ainsi.
Les mathématiques ne pourraient pas fonctionner sans le zéro. C’est même un élément fondamental dans les concepts mathématiques qui régissent notre système