Zéro 5
dans son ouvrage intitulé Liber Abaci (Le Livre des abaques) qu’il publia en 1202.
Élevé en Afrique du Nord et formé à l’école arithmétique indo-arabe, il reconnaissait
tout l’intérêt qu’il y avait à utiliser le signe supplémentaire 0 en combinaison avec
les symboles indiens 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
L’introduction du zéro dans le système de numération posa un problème que
Brahmagupta n’examina que rapidement : comment fallait-il traiter cet « intrus » ?
Il esquissa une solution, mais les expédients qu’il proposait étaient vagues.
Comment faire pour réellement intégrer le zéro dans le système arithmétique existant ? Certains ajustements étaient simples. Tant qu’il s’agissait d’additionner et de
multiplier, 0 s’intégrait parfaitement, mais les opérations de soustraction et de division s’entendaient mal avec « l’étranger ». Des simplifications étaient nécessaires
pour permettre au 0 de s’accorder avec l’arithmétique pratiquée à l’époque.
Comment fonctionne le zéro ? Les additions et les multiplications avec
zéro sont simples et ne donnent pas lieu à contestation. Si 0 vient s’ajouter à 10, on
obtient 100, mais « ajouter » doit être pris ici dans un sens purement numérique.
additionner 0 à un nombre le laisse inchangé alors que multiplier 0 par n’importe
quel nombre donne toujours 0. Par exemple, on a 7 + 0 = 7 et 7 × 0 = 0. La soustraction est une opération simple qui peut cependant donner des nombres négatifs,
7 – 0 = 7, et 0 – 7 = – 7, alors que la division avec 0 est source de difficultés.
Imaginons qu’il nous faille mesurer une longueur donnée avec une règle. Supposons
que cette règle est de sept unités de long. Nous voulons savoir combien de règles
nous pouvons mettre bout à bout pour effectuer notre mesure. Si notre longueur est
de 28 unités effectives, la réponse est 28 divisé par 7 ou, avec les symboles mathématiques, 28 ÷ 7 = 4. On préfère noter cette division sous la forme
28
7
= 4
On peut alors effectuer un « produit en croix » et l’on obtient la multiplication
28 = 7 × 4. Que faire maintenant de 0 divisé par 7 ? Pour faciliter notre travail,
appelons cette réponse a de sorte que
0
7
= a
Avec un produit en croix, cela équivaut à 0 = 7 × a. Si c’est le cas, la seule valeur
possible pour a est 0, car si la multiplication de deux nombres donne 0, alors l’un
des deux doit être égal à 0.
Et ce n’est pas le plus difficile. Le point critique est la division par 0. Si l’on essaie
de traiter 7/0 de la même manière que 0/7, on obtient l’équation
7
0
= b
1202
Fibonacci utilise le symbole supplémentaire 0
qu’il ajoute au système indo-arabe de chiffres
de 1 à 9 mais ne lui donne pas le statut de
nombre au même titre que les autres.
1100
Bhaskara utilise 0 comme
symbole en algèbre et
entreprend de montrer
comment il peut être utilisé.
830 ap. J.-C.
Mahavira se penche sur
les effets de l’introduction
du zéro dans le système
numérique.
dans son ouvrage intitulé Liber Abaci (Le Livre des abaques) qu’il publia en 1202.
Élevé en Afrique du Nord et formé à l’école arithmétique indo-arabe, il reconnaissait
tout l’intérêt qu’il y avait à utiliser le signe supplémentaire 0 en combinaison avec
les symboles indiens 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
L’introduction du zéro dans le système de numération posa un problème que
Brahmagupta n’examina que rapidement : comment fallait-il traiter cet « intrus » ?
Il esquissa une solution, mais les expédients qu’il proposait étaient vagues.
Comment faire pour réellement intégrer le zéro dans le système arithmétique existant ? Certains ajustements étaient simples. Tant qu’il s’agissait d’additionner et de
multiplier, 0 s’intégrait parfaitement, mais les opérations de soustraction et de division s’entendaient mal avec « l’étranger ». Des simplifications étaient nécessaires
pour permettre au 0 de s’accorder avec l’arithmétique pratiquée à l’époque.
Comment fonctionne le zéro ? Les additions et les multiplications avec
zéro sont simples et ne donnent pas lieu à contestation. Si 0 vient s’ajouter à 10, on
obtient 100, mais « ajouter » doit être pris ici dans un sens purement numérique.
additionner 0 à un nombre le laisse inchangé alors que multiplier 0 par n’importe
quel nombre donne toujours 0. Par exemple, on a 7 + 0 = 7 et 7 × 0 = 0. La soustraction est une opération simple qui peut cependant donner des nombres négatifs,
7 – 0 = 7, et 0 – 7 = – 7, alors que la division avec 0 est source de difficultés.
Imaginons qu’il nous faille mesurer une longueur donnée avec une règle. Supposons
que cette règle est de sept unités de long. Nous voulons savoir combien de règles
nous pouvons mettre bout à bout pour effectuer notre mesure. Si notre longueur est
de 28 unités effectives, la réponse est 28 divisé par 7 ou, avec les symboles mathématiques, 28 ÷ 7 = 4. On préfère noter cette division sous la forme
28
7
= 4
On peut alors effectuer un « produit en croix » et l’on obtient la multiplication
28 = 7 × 4. Que faire maintenant de 0 divisé par 7 ? Pour faciliter notre travail,
appelons cette réponse a de sorte que
0
7
= a
Avec un produit en croix, cela équivaut à 0 = 7 × a. Si c’est le cas, la seule valeur
possible pour a est 0, car si la multiplication de deux nombres donne 0, alors l’un
des deux doit être égal à 0.
Et ce n’est pas le plus difficile. Le point critique est la division par 0. Si l’on essaie
de traiter 7/0 de la même manière que 0/7, on obtient l’équation
7
0
= b
1202
Fibonacci utilise le symbole supplémentaire 0
qu’il ajoute au système indo-arabe de chiffres
de 1 à 9 mais ne lui donne pas le statut de
nombre au même titre que les autres.
1100
Bhaskara utilise 0 comme
symbole en algèbre et
entreprend de montrer
comment il peut être utilisé.
830 ap. J.-C.
Mahavira se penche sur
les effets de l’introduction
du zéro dans le système
numérique.