50 clés pour comprendre les maths
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Par exemple, si vous voulez résoudre l’équation x
2 – 3x + 2 = 0, il vous suffit d’attribuer
aux paramètres les valeurs suivantes : a = 1, b = – 3 et c = 2.
Les formules utilisées pour résoudre les équations du troisième et du quatrième
degré sont longues et difficiles à manier mais elles existent bel et bien. Ce qui laissait perplexes les mathématiciens, c’est qu’ils ne savaient pas produire une formule
générale qui puisse s’appliquer aux équations contenant x
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, c’est-à-dire aux équations du cinquième degré. Qu’y avait-il de si spécial avec les puissances de cinq ?
En 1826, Niels Abel, qui devait mourir prématurément, proposa une réponse remarquable pour résoudre ce casse-tête que représentaient les équations du cinquième
degré. Il prouva en fait la négation d’une proposition, ce qui est souvent plus difficile que de trouver une preuve constructive. Abel prouva qu’il ne pouvait y
avoir de formule contenant les symboles +, –, ×, ÷,
n
√ pour la résolution des équations
du cinquième degré, et conclut qu’il serait vain de poursuivre la quête de ce Graal.
Abel réussit à convaincre les plus grands parmi les mathématiciens, mais la nouvelle mit beaucoup de temps à gagner le reste du monde mathématique. Quelques
mathématiciens refusèrent d’accepter ce résultat, et pendant une bonne partie du
xix
e siècle, certains continuèrent à publier des travaux pour annoncer la découverte
de la formule inexistante.
Le monde moderne Pendant 500 ans, l’algèbre est resté synonyme de «
théorie des équations » mais les événements prirent une nouvelle tournure au
xix
e siècle. Les gens finirent par comprendre que les symboles utilisés en algèbre
pouvaient représenter autre chose que des nombres. Ils pouvaient représenter des
« propositions », et par conséquent l’algèbre pouvait être rattaché à l’étude de la
logique. Ces symboles pouvaient même représenter des objets de dimension supérieure tels que ceux que l’on trouve dans l’algèbre des matrices (voir page 156). Et,
comme de nombreux non-mathématiciens l’avaient soupçonné depuis longtemps,
ils pouvaient aussi ne rien représenter du tout et n’être que des symboles régis par
certaines règles, dites formelles.
Un événement capital se produisit en algèbre moderne en 1843 lorsque l’Irlandais
William Rowan Hamilton découvrit les quaternions. Hamilton recherchait un système de symboles qui lui permettrait d’étendre les nombres complexes de dimension 2 à des dimensions supérieures à 2. Des années durant, il travailla sur des
symboles de dimension 3, mais il n’en ressortit aucun système satisfaisant. Quand
il venait déjeuner chaque matin, ses fils lui demandaient : « Alors papa, tu sais multiplier des triplets ? » et il était obligé de répondre qu’il ne savait rien faire d’autre
que les additionner et les soustraire.
Le succès arriva de manière inattendue. La quête de la dimension 3 étant une
impasse, il fallait se tourner vers les symboles de dimension 4. Cet éclair de génie
lui est venu lors d’une promenade avec sa femme le long du Canal Royal à Dublin.
La découverte le mit dans un état de pleine euphorie. Sans hésiter, le vandale de
38 ans, Astronome Royal d’Irlande et Chevalier du Royaume, grava ses formules
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Par exemple, si vous voulez résoudre l’équation x
2 – 3x + 2 = 0, il vous suffit d’attribuer
aux paramètres les valeurs suivantes : a = 1, b = – 3 et c = 2.
Les formules utilisées pour résoudre les équations du troisième et du quatrième
degré sont longues et difficiles à manier mais elles existent bel et bien. Ce qui laissait perplexes les mathématiciens, c’est qu’ils ne savaient pas produire une formule
générale qui puisse s’appliquer aux équations contenant x
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, c’est-à-dire aux équations du cinquième degré. Qu’y avait-il de si spécial avec les puissances de cinq ?
En 1826, Niels Abel, qui devait mourir prématurément, proposa une réponse remarquable pour résoudre ce casse-tête que représentaient les équations du cinquième
degré. Il prouva en fait la négation d’une proposition, ce qui est souvent plus difficile que de trouver une preuve constructive. Abel prouva qu’il ne pouvait y
avoir de formule contenant les symboles +, –, ×, ÷,
n
√ pour la résolution des équations
du cinquième degré, et conclut qu’il serait vain de poursuivre la quête de ce Graal.
Abel réussit à convaincre les plus grands parmi les mathématiciens, mais la nouvelle mit beaucoup de temps à gagner le reste du monde mathématique. Quelques
mathématiciens refusèrent d’accepter ce résultat, et pendant une bonne partie du
xix
e siècle, certains continuèrent à publier des travaux pour annoncer la découverte
de la formule inexistante.
Le monde moderne Pendant 500 ans, l’algèbre est resté synonyme de «
théorie des équations » mais les événements prirent une nouvelle tournure au
xix
e siècle. Les gens finirent par comprendre que les symboles utilisés en algèbre
pouvaient représenter autre chose que des nombres. Ils pouvaient représenter des
« propositions », et par conséquent l’algèbre pouvait être rattaché à l’étude de la
logique. Ces symboles pouvaient même représenter des objets de dimension supérieure tels que ceux que l’on trouve dans l’algèbre des matrices (voir page 156). Et,
comme de nombreux non-mathématiciens l’avaient soupçonné depuis longtemps,
ils pouvaient aussi ne rien représenter du tout et n’être que des symboles régis par
certaines règles, dites formelles.
Un événement capital se produisit en algèbre moderne en 1843 lorsque l’Irlandais
William Rowan Hamilton découvrit les quaternions. Hamilton recherchait un système de symboles qui lui permettrait d’étendre les nombres complexes de dimension 2 à des dimensions supérieures à 2. Des années durant, il travailla sur des
symboles de dimension 3, mais il n’en ressortit aucun système satisfaisant. Quand
il venait déjeuner chaque matin, ses fils lui demandaient : « Alors papa, tu sais multiplier des triplets ? » et il était obligé de répondre qu’il ne savait rien faire d’autre
que les additionner et les soustraire.
Le succès arriva de manière inattendue. La quête de la dimension 3 étant une
impasse, il fallait se tourner vers les symboles de dimension 4. Cet éclair de génie
lui est venu lors d’une promenade avec sa femme le long du Canal Royal à Dublin.
La découverte le mit dans un état de pleine euphorie. Sans hésiter, le vandale de
38 ans, Astronome Royal d’Irlande et Chevalier du Royaume, grava ses formules