Le triangle de Pascal 55
alors que les termes de la diagonale suivante sont les coefficients du
développement
(1 + x)
–2 = 1 – 2x + 3x
2 – 4x
3 + 5x
4 – 6x
5 + 7x
6 – 8x
7 + …
Le triangle harmonique de Leibniz L’Allemand
Gottfried Leibniz, mathématicien à l’esprit universel,
déco uvrit un ensemble étonnant de nombres arrangés
en forme de triangle. Les nombres de Leibniz sont
disposés symétriquement le long de la médiane.
Mais, contrairement au triangle de Pascal, le
nombre d’une ligne s’obtient par addition des
deux nombres placés en dessous de lui. Par
exemple, 1/30 + 1/20 = 1/12. Pour construire
ce triangle, on peut démarrer d’en haut et progresser de la gauche vers la droite en faisant une soustraction : on connaît
1/12 et 1/30 et donc 1/12 – 1/30 = 1/20, nombre placé à la droite de 1/30.
Vous avez peut-être observé que la diagonale extérieure est la célèbre série
harmonique
1
1
1
1
1
1
1 + — + — + — + — + — + — + . . .
2
3
4
5
6
7
mais la seconde diagonale est ce que l’on appelle la série Leibnizienne
1
1
1
—— + —— + . . . + —————
1 × 2 2 × 3
n × (n + 1)
qui, après quelque manipulation astucieuse, s’avère être égale à n/(n +1). De la
même manière que précédemment, on peut écrire ces nombres de Leibniz sous la
forme B r
n
pour représenter le n
e nombre dans le r
e rang. Ils ont un lien avec les nombres
ordinaires de Pascal C
r
n via la formule :
B
r
n × C
r
n =
1
n + 1
Le triangle de Pascal est étroitement lié à de nombreux domaines mathématiques –
géométrie moderne, analyse combinatoire, et algèbre pour n’en citer que trois. Plus
que cela, c’est un exemple typique de ce en quoi consistent les mathématiques, à
savoir une recherche constante de régularité et d’harmonie, recherche qui renforce
notre compréhension de la discipline même.
Le triangle
harmonique
de Leibniz
l’idée clé
La fontaine des nombres