50 clés pour comprendre les maths
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Chacun de ces nombres est égal à trois fois le nombre précédent moins le nombre
qui précède ce dernier. Par exemple, 34 = 3 × 13 – 5. En suivant cette méthode, le
nombre suivant sera 3 × 34 – 13 = 89. On a écarté une « quasi diagonale » sur deux,
à savoir celles qui commencent par 1, 1 + 2 = 3, mais ces dernières nous donneront
la suite 1, 3, 8, 21, 25, 55…, nombres générés par cette même règle du « trois fois
moins 1 ». Nous pouvons donc produire le nombre suivant de la suite, à savoir
3 × 55 – 21 = 144. Mais il y a mieux. Si l’on intercale ces deux suites données par
ces « quasi diagonales », on obtient les nombres de Fibonacci :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Combinaisons de Pascal Les nombres de Pascal sont solutions de quelques
problèmes de dénombrement. Imaginez 7 personnes dans une pièce. Appelons-les
Alice, Catherine, Emma,
Gaspard, Jérôme, Mathieu,
et Thomas. Combien
existe-t-il de façons différentes de les placer par
groupes de trois ? On pourrait regrouper A, C, E, ou
encore A, C, T. Les mathématiciens notent par commodité C
r
n le nombre de la
n
e rangée à la r
e position (en commençant à r = 0) du triangle de
Pascal. La réponse à notre question est C
3
7 . Le 3
e nombre de la
7
e rangée du triangle est 35. Si l’on choisit un groupe de 3, on sélectionne du même coup un groupe de 4 personnes « non choisies ». Cela
explique que C
4
7 = 35 également. En général, C
r
n = C n
n – r
, ce qui découle de
la symétrie du triangle de Pascal.
Les 0 et les 1 Dans le triangle de Pascal, on voit que les nombres
placés à l’intérieur forment un dessin qui varie selon que les nombres
sont pairs ou impairs. Si l’on substitue 1 à chaque nombre impair et
0 à chaque nombre pair, on obtient une représentation similaire
au remarquable ensemble fractal connu sous le nom de triangle de
Serpin’ski (voir page 102).
Ajout de signes On peut représenter le triangle de Pascal qui correspond aux puissances de (– 1 + x) c’est-à-dire (– 1 + x)
n
. Dans ce cas, le
triangle n’est pas complètement symétrique par rapport à la droite
verticale, et au lieu de donner des puissances de 2, la somme des
nombres de chaque ligne donne 0. Cependant, ce sont les diagonales qui sont intéressantes ici. La diagonale de direction
sud-ouest qui s’écrit 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, … est
constituée des coefficients du développement
(1 + x)
–1 = 1 – x + x
2 – x
3 + x
4 – x
5 + x
6 – x
7 + …
Nombres pairs et impairs
dans le triangle
de Pascal
Le triangle de
Sierpin ’ ski
Ajout de signes
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Chacun de ces nombres est égal à trois fois le nombre précédent moins le nombre
qui précède ce dernier. Par exemple, 34 = 3 × 13 – 5. En suivant cette méthode, le
nombre suivant sera 3 × 34 – 13 = 89. On a écarté une « quasi diagonale » sur deux,
à savoir celles qui commencent par 1, 1 + 2 = 3, mais ces dernières nous donneront
la suite 1, 3, 8, 21, 25, 55…, nombres générés par cette même règle du « trois fois
moins 1 ». Nous pouvons donc produire le nombre suivant de la suite, à savoir
3 × 55 – 21 = 144. Mais il y a mieux. Si l’on intercale ces deux suites données par
ces « quasi diagonales », on obtient les nombres de Fibonacci :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Combinaisons de Pascal Les nombres de Pascal sont solutions de quelques
problèmes de dénombrement. Imaginez 7 personnes dans une pièce. Appelons-les
Alice, Catherine, Emma,
Gaspard, Jérôme, Mathieu,
et Thomas. Combien
existe-t-il de façons différentes de les placer par
groupes de trois ? On pourrait regrouper A, C, E, ou
encore A, C, T. Les mathématiciens notent par commodité C
r
n le nombre de la
n
e rangée à la r
e position (en commençant à r = 0) du triangle de
Pascal. La réponse à notre question est C
3
7 . Le 3
e nombre de la
7
e rangée du triangle est 35. Si l’on choisit un groupe de 3, on sélectionne du même coup un groupe de 4 personnes « non choisies ». Cela
explique que C
4
7 = 35 également. En général, C
r
n = C n
n – r
, ce qui découle de
la symétrie du triangle de Pascal.
Les 0 et les 1 Dans le triangle de Pascal, on voit que les nombres
placés à l’intérieur forment un dessin qui varie selon que les nombres
sont pairs ou impairs. Si l’on substitue 1 à chaque nombre impair et
0 à chaque nombre pair, on obtient une représentation similaire
au remarquable ensemble fractal connu sous le nom de triangle de
Serpin’ski (voir page 102).
Ajout de signes On peut représenter le triangle de Pascal qui correspond aux puissances de (– 1 + x) c’est-à-dire (– 1 + x)
n
. Dans ce cas, le
triangle n’est pas complètement symétrique par rapport à la droite
verticale, et au lieu de donner des puissances de 2, la somme des
nombres de chaque ligne donne 0. Cependant, ce sont les diagonales qui sont intéressantes ici. La diagonale de direction
sud-ouest qui s’écrit 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, … est
constituée des coefficients du développement
(1 + x)
–1 = 1 – x + x
2 – x
3 + x
4 – x
5 + x
6 – x
7 + …
Nombres pairs et impairs
dans le triangle
de Pascal
Le triangle de
Sierpin ’ ski
Ajout de signes