Le triangle de Pascal 53
deux nombres placés juste au-dessus. Pour obtenir 6 dans la cinquième ligne par
exemple, on additionne les deux 3 de la ligne supérieure. Le mathématicien G. H.
Hardy déclara que « le mathématicien, à l’instar du peintre ou du poète, crée des
formes ». Le triangle de Pascal en est un bon exemple.
Liens avec l’algèbre Le triangle de Pascal repose sur de vraies
mathématiques. Par exemple, si l’on développe (1 + x) × (1 + x)
× (1 + x) = (1 + x)
3
, on obtient 1 + 3x + 3x
2 + x
3
. Regardez bien et
vous verrez que, dans cette expression, les nombres en facteur
de x sont identiques à ceux qui apparaissent dans les lignes
correspondantes du triangle de Pascal. Le schéma est le suivant :
(1 + x)
0
1
(1 + x)
1
1
1
(1 + x)
2
1
2
1
(1 + x)
3
1
3
3
1
(1 + x)
4
1
4
6
4
1
(1 + x)
5
1
5
10
10
5
1
Si l’on additionne les nombres d’une ligne quelconque du triangle de Pascal, on obtient
toujours une puissance de 2. Par exemple, dans la cinquième ligne en partant du haut, 1
+ 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2
4
. De même pour la colonne de gauche ci-dessus si l’on prend x = 1.
Propriétés La première propriété évidente du triangle de Pascal est sa symétrie.
Si l’on trace une droite verticale qui le traverse en son milieu, le triangle possède une
« symétrie inversée » – la partie gauche est identique à celle de droite. On peut ainsi
parler de « diagonales » simples, parce qu’une diagonale de direction nord-est sera
identique à une diagonale de direction nord-ouest. Sous la diagonale constituée
des différents 1, se trouve la diagonale constituée des nombres 1, 2, 3, 4, 5,
6… En dessous de celle-ci, se trouvent les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10,
15, 21… (les nombres que l’on obtient en faisant le total des points disposés en triangles). Dans la diagonale en dessous, on a les nombres
tétraédriques 1, 4, 10, 20, 35, 56… Ces nombres correspondent aux
tétraèdres (« triangles en dimension 3 », ou, si vous préférez, au
nombre de boulets de canon que l’on peut placer sur des bases
triangulaires de plus en plus grandes). Et qu’en est-il des «
quasi diagonales » ?
Si l’on ajoute les nombres qui se trouvent sur les droites
qui traversent le triangle (droites qui ne sont ni des lignes
ni de vraies diagonales), on obtient la suite 1, 2, 5, 13, 34…
1303
Zhu Shijie définit le triangle
de Pascal et montre comment
obtenir certaines suites.
1664
L’article de Pascal sur les propriétés du
triangle est publié à titre posthume.
1714
Leibniz examine le triangle
harmonique.
Les quasi
diagonales du
triangle de Pascal
deux nombres placés juste au-dessus. Pour obtenir 6 dans la cinquième ligne par
exemple, on additionne les deux 3 de la ligne supérieure. Le mathématicien G. H.
Hardy déclara que « le mathématicien, à l’instar du peintre ou du poète, crée des
formes ». Le triangle de Pascal en est un bon exemple.
Liens avec l’algèbre Le triangle de Pascal repose sur de vraies
mathématiques. Par exemple, si l’on développe (1 + x) × (1 + x)
× (1 + x) = (1 + x)
3
, on obtient 1 + 3x + 3x
2 + x
3
. Regardez bien et
vous verrez que, dans cette expression, les nombres en facteur
de x sont identiques à ceux qui apparaissent dans les lignes
correspondantes du triangle de Pascal. Le schéma est le suivant :
(1 + x)
0
1
(1 + x)
1
1
1
(1 + x)
2
1
2
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(1 + x)
3
1
3
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(1 + x)
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(1 + x)
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10
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Si l’on additionne les nombres d’une ligne quelconque du triangle de Pascal, on obtient
toujours une puissance de 2. Par exemple, dans la cinquième ligne en partant du haut, 1
+ 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2
4
. De même pour la colonne de gauche ci-dessus si l’on prend x = 1.
Propriétés La première propriété évidente du triangle de Pascal est sa symétrie.
Si l’on trace une droite verticale qui le traverse en son milieu, le triangle possède une
« symétrie inversée » – la partie gauche est identique à celle de droite. On peut ainsi
parler de « diagonales » simples, parce qu’une diagonale de direction nord-est sera
identique à une diagonale de direction nord-ouest. Sous la diagonale constituée
des différents 1, se trouve la diagonale constituée des nombres 1, 2, 3, 4, 5,
6… En dessous de celle-ci, se trouvent les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10,
15, 21… (les nombres que l’on obtient en faisant le total des points disposés en triangles). Dans la diagonale en dessous, on a les nombres
tétraédriques 1, 4, 10, 20, 35, 56… Ces nombres correspondent aux
tétraèdres (« triangles en dimension 3 », ou, si vous préférez, au
nombre de boulets de canon que l’on peut placer sur des bases
triangulaires de plus en plus grandes). Et qu’en est-il des «
quasi diagonales » ?
Si l’on ajoute les nombres qui se trouvent sur les droites
qui traversent le triangle (droites qui ne sont ni des lignes
ni de vraies diagonales), on obtient la suite 1, 2, 5, 13, 34…
1303
Zhu Shijie définit le triangle
de Pascal et montre comment
obtenir certaines suites.
1664
L’article de Pascal sur les propriétés du
triangle est publié à titre posthume.
1714
Leibniz examine le triangle
harmonique.
Les quasi
diagonales du
triangle de Pascal