Les rectangles d’or 51
Le Corbusier était fasciné par le rectangle, élément central dans ses conceptions
architecturales, et par le rectangle d’or en particulier. Il attachait beaucoup d’importance à l’harmonie et à l’ordre, qu’il trouvait dans les mathématiques. Il regardait
l’architecture avec des yeux de mathématicien. Il est l’auteur du « modulor », système de mesure basé sur une théorie des proportions. Cet outil servait en fait à la
production en série de rectangles d’or, forme qu’il utilisait pour concevoir ses plans.
Le Corbusier s’est inspiré de Léonard de Vinci, qui avait lui-même étudié les réalisations de l’architecte romain Vitruve, pour lequel les proportions présentes dans le
corps humain étaient d’une grande importance.v
Autres formes Il existe aussi un « super rectangle d’or » dont la construction
est proche de celle du rectangle d’or.
Voici comment on construit le super rectangle d’or MQPN. Comme précédemment,
MQSR est un carré de côté 1. Tracez la diagonale [MP] et notez J son intersection
avec (RS). Puis, tracez une droite passant par J, parallèle à (RN), et qui coupe (NP) en
K. On appellera y la longueur RJ et x la longueur MN. On a RJ/MR = NP/MN (car les
triangles MRJ et MNP sont semblables), ce qui s’écrit
1
x
y
1
=
et donc xy = 1. On dit alors que x et y sont « inverses ».
On obtient le super rectangle d’or en construisant le
rectangle RJKN dont les côtés sont proportionnels à
ceux du rectangle d’origine MQPN, c’est-à-dire
y
x – 1
x
1
= .
En utilisant le fait que xy = 1, on peut conclure que
la longueur du super rectangle d’or x est solution de
l’équation « cubique » x
3 = x
2 + 1, qui ressemble à
l’équation x
2 = x + 1 (équation qui définit le rectangle
d’or). L’équation cubique a une solution réelle positive
Ψ (en remplaçant x par le symbole plus courant Ψ) dont
la valeur est
Ψ = 1,465 571 231 876 768 026 65…
nombre associé à la suite de Lamé (voir page 47). Le rectangle d’or est constructible à la règle et au compas, contrairement au super rectangle d’or.
M
R
N
K
P
S
Q
J
l’idée clé
Proportions divines
Le Corbusier était fasciné par le rectangle, élément central dans ses conceptions
architecturales, et par le rectangle d’or en particulier. Il attachait beaucoup d’importance à l’harmonie et à l’ordre, qu’il trouvait dans les mathématiques. Il regardait
l’architecture avec des yeux de mathématicien. Il est l’auteur du « modulor », système de mesure basé sur une théorie des proportions. Cet outil servait en fait à la
production en série de rectangles d’or, forme qu’il utilisait pour concevoir ses plans.
Le Corbusier s’est inspiré de Léonard de Vinci, qui avait lui-même étudié les réalisations de l’architecte romain Vitruve, pour lequel les proportions présentes dans le
corps humain étaient d’une grande importance.v
Autres formes Il existe aussi un « super rectangle d’or » dont la construction
est proche de celle du rectangle d’or.
Voici comment on construit le super rectangle d’or MQPN. Comme précédemment,
MQSR est un carré de côté 1. Tracez la diagonale [MP] et notez J son intersection
avec (RS). Puis, tracez une droite passant par J, parallèle à (RN), et qui coupe (NP) en
K. On appellera y la longueur RJ et x la longueur MN. On a RJ/MR = NP/MN (car les
triangles MRJ et MNP sont semblables), ce qui s’écrit
1
x
y
1
=
et donc xy = 1. On dit alors que x et y sont « inverses ».
On obtient le super rectangle d’or en construisant le
rectangle RJKN dont les côtés sont proportionnels à
ceux du rectangle d’origine MQPN, c’est-à-dire
y
x – 1
x
1
= .
En utilisant le fait que xy = 1, on peut conclure que
la longueur du super rectangle d’or x est solution de
l’équation « cubique » x
3 = x
2 + 1, qui ressemble à
l’équation x
2 = x + 1 (équation qui définit le rectangle
d’or). L’équation cubique a une solution réelle positive
Ψ (en remplaçant x par le symbole plus courant Ψ) dont
la valeur est
Ψ = 1,465 571 231 876 768 026 65…
nombre associé à la suite de Lamé (voir page 47). Le rectangle d’or est constructible à la règle et au compas, contrairement au super rectangle d’or.
M
R
N
K
P
S
Q
J
l’idée clé
Proportions divines