50 clés pour comprendre les maths
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Le choix de l’or Voyons maintenant si l’on peut construire un rectangle d’or.
Nous commencerons avec notre carré MQSR de côté unité et nous noterons O le
milieu de [QS]. La longueur OS = 1/2, et donc, selon le théorème de Pythagore
(voir page 84) dans le triangle ORS, on a
OR =
( )
2
5
2
2
1 + 1
2
=
En utilisant un compas centré en O, on peut tracer l’arc RP et
l’on trouve que OP = OR = 2
5
2
1
=
+
. On termine donc avec QP =
2
5
2
1
=
+
= Φ,
ce qui est le résultat souhaité : la « section d’or » ou le côté du rectangle d’or.
Histoire On entend toutes sortes de choses sur le nombre d’or.
Lorsque l’on se rend compte de ses propriétés mathématiques
et de l’intérêt qu’elles représentent, on le voit dans des
endroits inattendus, et même là où il n’est pas. Pire, on
peut aller jusqu’à affirmer que le nombre d’or préexistait à l’objet, que les musiciens, les architectes et les
artistes l’avaient à l’esprit au moment de la création. C’est ce que l’on pourrait appeler « le nombre
d’orisme ». Passer des nombres à des affirmations
générales sans apporter de preuve est dangereux.
Prenez le Parthénon à Athènes. À l’époque de sa
construction, le nombre d’or était certainement
connu, mais cela ne signifie pas qu’il a servi de
base à sa conception. Effectivement, sur la façade
du Parthénon, le rapport de la largeur à la hauteur (fronton triangulaire inclus) est
égal à 1,74 ce qui n’est pas très loin de 1,618, mais est-ce suffisamment proche pour
prétendre que la présence du nombre d’or est délibérée ? Certains soutiennent que
le fronton ne doit pas être pris dans les calculs, et ainsi, le rapport de la largeur à la
hauteur est égal au nombre entier 3.
Dans son ouvrage De divina proportione publié en 1509, Luca Pacioli a « découvert » des liens entre les caractéristiques divines et les propriétés de la proportion
telle qu’elle est définie par Φ. Il la nomma « proportion divine ». Pacioli était un
moine franciscain auteur d’ouvrages mathématiques qui ont fait autorité. Il est
parfois considéré comme le « père de la comptabilité » parce qu’il a popularisé la
méthode en partie double utilisée par les marchands vénitiens. Il est également
connu pour avoir enseigné les mathématiques à Léonard de Vinci. À l’époque de
la Renaissance, le domaine du nombre d’or acquit un statut presque mystique –
l’astronome Johannes Kepler voyait en lui un « joyau » mathématique. Plus tard,
un grand psychologue allemand du nom de Gustav Fechner mesura des milliers de
formes rectangulaires (cartes à jouer, livres, fenêtres) pour arriver à la conclusion
que le rapport le plus utilisé était proche de Φ.
M
R
Q
S
O
1
1
/2
P
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Le choix de l’or Voyons maintenant si l’on peut construire un rectangle d’or.
Nous commencerons avec notre carré MQSR de côté unité et nous noterons O le
milieu de [QS]. La longueur OS = 1/2, et donc, selon le théorème de Pythagore
(voir page 84) dans le triangle ORS, on a
OR =
( )
2
5
2
2
1 + 1
2
=
En utilisant un compas centré en O, on peut tracer l’arc RP et
l’on trouve que OP = OR = 2
5
2
1
=
+
. On termine donc avec QP =
2
5
2
1
=
+
= Φ,
ce qui est le résultat souhaité : la « section d’or » ou le côté du rectangle d’or.
Histoire On entend toutes sortes de choses sur le nombre d’or.
Lorsque l’on se rend compte de ses propriétés mathématiques
et de l’intérêt qu’elles représentent, on le voit dans des
endroits inattendus, et même là où il n’est pas. Pire, on
peut aller jusqu’à affirmer que le nombre d’or préexistait à l’objet, que les musiciens, les architectes et les
artistes l’avaient à l’esprit au moment de la création. C’est ce que l’on pourrait appeler « le nombre
d’orisme ». Passer des nombres à des affirmations
générales sans apporter de preuve est dangereux.
Prenez le Parthénon à Athènes. À l’époque de sa
construction, le nombre d’or était certainement
connu, mais cela ne signifie pas qu’il a servi de
base à sa conception. Effectivement, sur la façade
du Parthénon, le rapport de la largeur à la hauteur (fronton triangulaire inclus) est
égal à 1,74 ce qui n’est pas très loin de 1,618, mais est-ce suffisamment proche pour
prétendre que la présence du nombre d’or est délibérée ? Certains soutiennent que
le fronton ne doit pas être pris dans les calculs, et ainsi, le rapport de la largeur à la
hauteur est égal au nombre entier 3.
Dans son ouvrage De divina proportione publié en 1509, Luca Pacioli a « découvert » des liens entre les caractéristiques divines et les propriétés de la proportion
telle qu’elle est définie par Φ. Il la nomma « proportion divine ». Pacioli était un
moine franciscain auteur d’ouvrages mathématiques qui ont fait autorité. Il est
parfois considéré comme le « père de la comptabilité » parce qu’il a popularisé la
méthode en partie double utilisée par les marchands vénitiens. Il est également
connu pour avoir enseigné les mathématiques à Léonard de Vinci. À l’époque de
la Renaissance, le domaine du nombre d’or acquit un statut presque mystique –
l’astronome Johannes Kepler voyait en lui un « joyau » mathématique. Plus tard,
un grand psychologue allemand du nom de Gustav Fechner mesura des milliers de
formes rectangulaires (cartes à jouer, livres, fenêtres) pour arriver à la conclusion
que le rapport le plus utilisé était proche de Φ.
M
R
Q
S
O
1
1
/2
P