Les rectangles d’or 49
1509
Pacioli publie La Divine
Proportion.
1876
Fechner travaille sur
des expériences psychologiques
pour déterminer les proportions
du rectangle le plus « esthétique ».
1975
Le comité technique ISO (Organisation
Internationale de Normalisation) définit
le format de la série A des feuilles de papier.
deux petits rectangles ainsi formés sont proportionnellement identiques au rectangle
initial. Ce sont les modèles réduits de ce même rectangle.
Ainsi, une feuille A4 pliée en deux donne deux feuilles de format A5. De la même façon,
un format A5 donne deux formats A6. À l’inverse, une feuille A3 est faite de 2 feuilles
A4. Plus le nombre est petit, plus la feuille est grande. Comment avons-nous su que le
nombre particulier 1,4142 conviendrait ? Plions un rectangle dont la longueur nous
est cette fois inconnue. Si l’on considère que la largeur d’un rectangle vaut 1, et si l’on
désigne par x la mesure de la longueur, alors le rapport de la longueur à la largeur est
de x/1. Si l’on plie maintenant le rectangle, le rapport de la longueur à la largeur du
rectangle plus petit est égal à 1/(x/2), soit 2/x. Avec les formats A, nos deux rapports
doivent représenter la même proportion, de sorte que l’on obtient une équation du type
x/1 = 2/x ou x
2 = 2. La vraie valeur de x est donc √2, soit 1,4142 en valeur approchée.
Or mathématique Le rectangle d’or est différent du format A, mais il ne
l’est pas tant que cela. Cette fois, le rectangle est plié le long de la droite (RS) sur le
diagramme de sorte que les points MRSQ forment les quatre sommets d’un carré.
La propriété essentielle du rectangle d’or est que le rectangle RNPS restant est proportionnel au grand rectangle, de sorte qu’il devrait être une réplique miniature du
grand rectangle.
Comme ci-dessus, on dira que la largeur MQ = MR du grand rectangle est de longueur 1 unité et l’on notera x la longueur du grand côté [MN]. Le rapport longueur
sur largeur est encore de x/1. Cette fois, la largeur du petit rectangle RNPS est égale
à MN – MR, soit x – 1 et donc le rapport longueur sur largeur de ce rectangle est égal
à 1/(x – 1).
La mise en équation donne x
1
= 1
x – 1
que l’on peut écrire x
2 = x +
1. Une valeur approchée de la solution positive
est 1,618. Il est facile de le vérifier. Si l’on tape
1,618, et si l’on multiplie ce nombre par luimême, la calculatrice donne 2,618, ce qui est égal
à x + 1 = 2,618. C’est le célèbre nombre d’or que
l’on désigne par la lettre grecque phi, notée Φ. Sa
définition et sa valeur approchée est donnée par
Φ =
2
5
1+
= 1,618 033 988 749 894 848 20…
et ce nombre est lié à la suite de Fibonacci et au problème des lapins (voir page 45).
M
R
N
P
S
Q
1509
Pacioli publie La Divine
Proportion.
1876
Fechner travaille sur
des expériences psychologiques
pour déterminer les proportions
du rectangle le plus « esthétique ».
1975
Le comité technique ISO (Organisation
Internationale de Normalisation) définit
le format de la série A des feuilles de papier.
deux petits rectangles ainsi formés sont proportionnellement identiques au rectangle
initial. Ce sont les modèles réduits de ce même rectangle.
Ainsi, une feuille A4 pliée en deux donne deux feuilles de format A5. De la même façon,
un format A5 donne deux formats A6. À l’inverse, une feuille A3 est faite de 2 feuilles
A4. Plus le nombre est petit, plus la feuille est grande. Comment avons-nous su que le
nombre particulier 1,4142 conviendrait ? Plions un rectangle dont la longueur nous
est cette fois inconnue. Si l’on considère que la largeur d’un rectangle vaut 1, et si l’on
désigne par x la mesure de la longueur, alors le rapport de la longueur à la largeur est
de x/1. Si l’on plie maintenant le rectangle, le rapport de la longueur à la largeur du
rectangle plus petit est égal à 1/(x/2), soit 2/x. Avec les formats A, nos deux rapports
doivent représenter la même proportion, de sorte que l’on obtient une équation du type
x/1 = 2/x ou x
2 = 2. La vraie valeur de x est donc √2, soit 1,4142 en valeur approchée.
Or mathématique Le rectangle d’or est différent du format A, mais il ne
l’est pas tant que cela. Cette fois, le rectangle est plié le long de la droite (RS) sur le
diagramme de sorte que les points MRSQ forment les quatre sommets d’un carré.
La propriété essentielle du rectangle d’or est que le rectangle RNPS restant est proportionnel au grand rectangle, de sorte qu’il devrait être une réplique miniature du
grand rectangle.
Comme ci-dessus, on dira que la largeur MQ = MR du grand rectangle est de longueur 1 unité et l’on notera x la longueur du grand côté [MN]. Le rapport longueur
sur largeur est encore de x/1. Cette fois, la largeur du petit rectangle RNPS est égale
à MN – MR, soit x – 1 et donc le rapport longueur sur largeur de ce rectangle est égal
à 1/(x – 1).
La mise en équation donne x
1
= 1
x – 1
que l’on peut écrire x
2 = x +
1. Une valeur approchée de la solution positive
est 1,618. Il est facile de le vérifier. Si l’on tape
1,618, et si l’on multiplie ce nombre par luimême, la calculatrice donne 2,618, ce qui est égal
à x + 1 = 2,618. C’est le célèbre nombre d’or que
l’on désigne par la lettre grecque phi, notée Φ. Sa
définition et sa valeur approchée est donnée par
Φ =
2
5
1+
= 1,618 033 988 749 894 848 20…
et ce nombre est lié à la suite de Fibonacci et au problème des lapins (voir page 45).
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