50 clés pour comprendre les maths
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L’addition de n termes de la suite de Fibonacci correspond au nombre de Fibonacci
qui se trouve deux places plus loin et auquel on a retranché 1. Si vous voulez
connaître le résultat de l’addition 1 + 1 + 2 + … + 987, il suffit d’ôter 1 de 2 584 : on
obtient 2 583. Si l’on ajoute un nombre sur deux, par exemple 1 + 2 + 5 + 13+ 34,
on obtient 55, qui est lui-même un nombre de Fibonacci. Si l’on choisit la solution
alternative 1 + 3 + 8 + 21 + 55, on obtient 88 qui est un nombre de Fibonacci auquel
on a retranché 1.
Les carrés de la suite de Fibonacci sont également intéressants. On obtient une
nouvelle suite en multipliant chaque nombre de Fibonacci par lui-même et en additionnant les résultats obtenus.
Fibonacci
1 1 2 3 5
8
13
21
34
55
…
Carrés
1 1 4 9 25 64 169 441 1 156 3 025 …
Additions des carrés 1 2 6 15 40 104 273 714 1 870 4 895 …
Dans ce cas, additionner tous les carrés jusqu’au n
ème nombre revient à multiplier
le n
ème nombre de la suite initiale de Fibonacci par le nombre qui le suit immédiatement. Par exemple,
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 × 21
Les nombres de Fibonacci apparaissent aussi quand on ne s’y attend pas. Imaginons
un porte-monnaie où sont mélangées des pièces de 1 et de 2 €. Que se passe-t-il si
l’on veut compter le nombre de façons de sortir les pièces du porte-monnaie pour
atteindre une somme particulière exprimée en euros ? Dans ce problème, l’ordre
des actions est important. La somme 4 € peut être réalisée comme suit selon l’ordre
de sortie des pièces : 1 + 1 + 1 + 1 ; 2 + 1 + 1 ; 1 + 2 + 1 ; 1 + 1 + 2 et 2 + 2. On
peut procéder de 5 façons différentes en tout, ce qui correspond au 5
e nombre de
Fibonacci. Si vous prenez 20 €, il y a 6 765 façons de sortir des pièces de 1 et de
2 €, ce qui correspond au 21
e nombre de Fibonacci ! On voit ici toute la puissance
d’idées mathématiques simples.
Le nombre d’or Si l’on regarde le rapport des termes formé par la suite de
Fibonacci en divisant un terme par celui qui le précède, on trouve une autre propriété remarquable des nombres de Fibonacci. Faisons l’expérience avec les quelques
termes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
1/1
2/1
3/2
5/3
8/5
13/8
21/13 34/21 55/34
1,000 2,000 1,500 1,333 1,600 1,625 1,615 1,619 1,617
Très rapidement, les rapports obtenus se rapprochent d’une valeur connue sous
le nom de nombre d’or, nombre célèbre en mathématiques, désigné par la lettre
grecque Φ. Il a sa place parmi les meilleures constantes mathématiques telles que π
et e, et a pour valeur exacte
Φ =
2
5
1+
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L’addition de n termes de la suite de Fibonacci correspond au nombre de Fibonacci
qui se trouve deux places plus loin et auquel on a retranché 1. Si vous voulez
connaître le résultat de l’addition 1 + 1 + 2 + … + 987, il suffit d’ôter 1 de 2 584 : on
obtient 2 583. Si l’on ajoute un nombre sur deux, par exemple 1 + 2 + 5 + 13+ 34,
on obtient 55, qui est lui-même un nombre de Fibonacci. Si l’on choisit la solution
alternative 1 + 3 + 8 + 21 + 55, on obtient 88 qui est un nombre de Fibonacci auquel
on a retranché 1.
Les carrés de la suite de Fibonacci sont également intéressants. On obtient une
nouvelle suite en multipliant chaque nombre de Fibonacci par lui-même et en additionnant les résultats obtenus.
Fibonacci
1 1 2 3 5
8
13
21
34
55
…
Carrés
1 1 4 9 25 64 169 441 1 156 3 025 …
Additions des carrés 1 2 6 15 40 104 273 714 1 870 4 895 …
Dans ce cas, additionner tous les carrés jusqu’au n
ème nombre revient à multiplier
le n
ème nombre de la suite initiale de Fibonacci par le nombre qui le suit immédiatement. Par exemple,
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 × 21
Les nombres de Fibonacci apparaissent aussi quand on ne s’y attend pas. Imaginons
un porte-monnaie où sont mélangées des pièces de 1 et de 2 €. Que se passe-t-il si
l’on veut compter le nombre de façons de sortir les pièces du porte-monnaie pour
atteindre une somme particulière exprimée en euros ? Dans ce problème, l’ordre
des actions est important. La somme 4 € peut être réalisée comme suit selon l’ordre
de sortie des pièces : 1 + 1 + 1 + 1 ; 2 + 1 + 1 ; 1 + 2 + 1 ; 1 + 1 + 2 et 2 + 2. On
peut procéder de 5 façons différentes en tout, ce qui correspond au 5
e nombre de
Fibonacci. Si vous prenez 20 €, il y a 6 765 façons de sortir des pièces de 1 et de
2 €, ce qui correspond au 21
e nombre de Fibonacci ! On voit ici toute la puissance
d’idées mathématiques simples.
Le nombre d’or Si l’on regarde le rapport des termes formé par la suite de
Fibonacci en divisant un terme par celui qui le précède, on trouve une autre propriété remarquable des nombres de Fibonacci. Faisons l’expérience avec les quelques
termes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
1/1
2/1
3/2
5/3
8/5
13/8
21/13 34/21 55/34
1,000 2,000 1,500 1,333 1,600 1,625 1,615 1,619 1,617
Très rapidement, les rapports obtenus se rapprochent d’une valeur connue sous
le nom de nombre d’or, nombre célèbre en mathématiques, désigné par la lettre
grecque Φ. Il a sa place parmi les meilleures constantes mathématiques telles que π
et e, et a pour valeur exacte
Φ =
2
5
1+