Les nombres parfaits 43
premier), 2
11 – 1 = 2 047 = 23 × 89 et que, par conséquent,
ce n’est pas un nombre premier. Il ne semble pas y avoir
de règle. Les nombres de Mersenne 2
17 – 1 et 2
19 – 1 sont
tous deux des nombres premiers, mais 2
23 – 1 n’est pas
premier parce que
2
23 – 1 = 8 388 607 = 47 × 178 481.
Travail de construction Une combinaison
du travail d’Euclide et de celui d’Euler donne une formule qui permet même de produire des nombres
parfaits pairs : n est un nombre parfait pair si et seulement si n = 2
p – 1 (2
p – 1) où p est un nombre premier et
2
p – 1 est un nombre de Mersenne premier.
Par exemple, 6 = 2
1 (2
2 – 1), 28 = 2
2 (2
3 – 1) et
496 = 2
4 (2
5 – 1). Cette formule pour calculer les nombres
parfaits pairs signifie que l’on peut les produire si l’on peut
trouver des nombres premiers de Mersenne. Les nombres
parfaits ont nargué et nargueront encore hommes et
machines à un point que les premiers praticiens n’avaient
pas imaginé. Au début du xix
e siècle, le collectionneur de
nombres Peter Barlow écrivait que, selon lui, personne ne
trouverait un nombre parfait d’Euler supérieur au nombre
2
30 (2
31 – 1) = 2 305 843 008 139 952 128 parce que cela
ne servirait pas à grand-chose. Il ne pouvait pas prévoir
la puissance des ordinateurs modernes ni le besoin insatiable des mathématiciens de relever de nouveaux défis.
Nombres parfaits impairs On ignore si l’on trouvera un jour un nombre parfait impair. Descartes pensait que non, mais il arrive aux experts de se tromper. Le
mathématicien anglais James Joseph Sylvester déclara que
l’existence d’un nombre parfait impair « tiendrait presque
du miracle » vu le grand nombre de conditions auxquelles
il lui faudrait satisfaire. Il n’est pas très surprenant que
Sylvester ait eu quelques doutes. C’est l’un des problèmes
mathématiques les plus anciens, mais si un nombre parfait impair existe vraiment, on
en sait déjà beaucoup à son sujet. Il lui faudrait au moins 8 diviseurs premiers, dont
l’un serait supérieur à 1 million, et il devrait contenir au moins 300 chiffres.
l’idée clé
La mystique des nombres
Les premiers
de Mersenne
Trouver les nombres premiers de
Mersenne n’est pas chose facile.
Pendant des siècles, de nombreux
mathématiciens complétèrent
cette liste dont l’histoire a connu
des hauts et des bas, car erreurs
et résultats corrects se mêlèrent et
en constituent la base. Le grand
Leonhard Euler a fourni en 1732 le
8
e premier de Mersenne, à savoir
2
31 – 1 = 2 147 483 647. La découverte du 23
e premier de Mersenne,
2
11 213 – 1, en 1963, fit la fierté du
département de mathématiques
de l’université de l’Illinois aux ÉtatsUnis qui l’annonça au monde en
l’imprimant sur le timbre de l’université. Mais grâce à la puissance
des ordinateurs, l’industrie des
nombres premiers de Mersenne a
pu accomplir de grands progrès.
C’est ainsi qu’à la fin des années
1970, des lycéens, Laura Nickel
et Landon Noll, ont découvert
conjointement le 25
e premier de
Mersenne, et Noll le 26
e . À ce jour,
49 nombres premiers de Mersenne
nous sont connus.
premier), 2
11 – 1 = 2 047 = 23 × 89 et que, par conséquent,
ce n’est pas un nombre premier. Il ne semble pas y avoir
de règle. Les nombres de Mersenne 2
17 – 1 et 2
19 – 1 sont
tous deux des nombres premiers, mais 2
23 – 1 n’est pas
premier parce que
2
23 – 1 = 8 388 607 = 47 × 178 481.
Travail de construction Une combinaison
du travail d’Euclide et de celui d’Euler donne une formule qui permet même de produire des nombres
parfaits pairs : n est un nombre parfait pair si et seulement si n = 2
p – 1 (2
p – 1) où p est un nombre premier et
2
p – 1 est un nombre de Mersenne premier.
Par exemple, 6 = 2
1 (2
2 – 1), 28 = 2
2 (2
3 – 1) et
496 = 2
4 (2
5 – 1). Cette formule pour calculer les nombres
parfaits pairs signifie que l’on peut les produire si l’on peut
trouver des nombres premiers de Mersenne. Les nombres
parfaits ont nargué et nargueront encore hommes et
machines à un point que les premiers praticiens n’avaient
pas imaginé. Au début du xix
e siècle, le collectionneur de
nombres Peter Barlow écrivait que, selon lui, personne ne
trouverait un nombre parfait d’Euler supérieur au nombre
2
30 (2
31 – 1) = 2 305 843 008 139 952 128 parce que cela
ne servirait pas à grand-chose. Il ne pouvait pas prévoir
la puissance des ordinateurs modernes ni le besoin insatiable des mathématiciens de relever de nouveaux défis.
Nombres parfaits impairs On ignore si l’on trouvera un jour un nombre parfait impair. Descartes pensait que non, mais il arrive aux experts de se tromper. Le
mathématicien anglais James Joseph Sylvester déclara que
l’existence d’un nombre parfait impair « tiendrait presque
du miracle » vu le grand nombre de conditions auxquelles
il lui faudrait satisfaire. Il n’est pas très surprenant que
Sylvester ait eu quelques doutes. C’est l’un des problèmes
mathématiques les plus anciens, mais si un nombre parfait impair existe vraiment, on
en sait déjà beaucoup à son sujet. Il lui faudrait au moins 8 diviseurs premiers, dont
l’un serait supérieur à 1 million, et il devrait contenir au moins 300 chiffres.
l’idée clé
La mystique des nombres
Les premiers
de Mersenne
Trouver les nombres premiers de
Mersenne n’est pas chose facile.
Pendant des siècles, de nombreux
mathématiciens complétèrent
cette liste dont l’histoire a connu
des hauts et des bas, car erreurs
et résultats corrects se mêlèrent et
en constituent la base. Le grand
Leonhard Euler a fourni en 1732 le
8
e premier de Mersenne, à savoir
2
31 – 1 = 2 147 483 647. La découverte du 23
e premier de Mersenne,
2
11 213 – 1, en 1963, fit la fierté du
département de mathématiques
de l’université de l’Illinois aux ÉtatsUnis qui l’annonça au monde en
l’imprimant sur le timbre de l’université. Mais grâce à la puissance
des ordinateurs, l’industrie des
nombres premiers de Mersenne a
pu accomplir de grands progrès.
C’est ainsi qu’à la fin des années
1970, des lycéens, Laura Nickel
et Landon Noll, ont découvert
conjointement le 25
e premier de
Mersenne, et Noll le 26
e . À ce jour,
49 nombres premiers de Mersenne
nous sont connus.