50 clés pour comprendre les maths
42
Les nombres de Mersenne Pour
construire des nombres parfaits, on utilise une liste de nombres qui tiennent
leur nom du Père Marin Mersenne,
moine français qui étudia chez les
Jésuites avec René Descartes. Les deux
hommes s’intéressaient à la découverte
de nombres parfaits. Les nombres de
Mersenne, que l’on construit à partir de
puissances de 2, sont des doubles tels
que les nombres 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,
256… auxquels on soustrait une seule et
unique unité. Les nombres de Mersenne
sont de la forme 2
n – 1. Toujours impairs,
ils ne sont cependant pas toujours premiers. En revanche, on peut utiliser les
nombres de Mersenne premiers pour
construire des nombres parfaits.
Mersenne savait que si l’exposant de 2 n’était pas un nombre premier, alors le
nombre de Mersenne ne pouvait pas être un nombre premier non plus, comme c’est
le cas avec les puissances 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 et 15 dans notre tableau. Les nombres
de Mersenne ne peuvent être premiers que si la puissance est elle-même un nombre
premier, mais est-ce une condition suffisante ? Pour les quelques premiers cas, on
obtient bien 3, 7, 31 et 127, qui sont tous premiers. Est-il donc vrai qu’un nombre
de Mersenne formé avec un exposant premier est toujours premier lui aussi ?
De l’Antiquité jusqu’aux années 1500 environ, de nombreux mathématiciens pensaient qu’il en était ainsi. Mais les nombres premiers ne sont pas soumis à une telle
simplicité. Par exemple, on a trouvé que pour la puissance 11 (qui est un nombre
De bons amis, tout simplement
Le mathématicien, qui a la tête sur les épaules, ne s’intéresse d’ordinaire pas à la mystique des
nombres, mais la numérologie a encore de beaux jours devant elle. Les nombres amiables
sont venus après les nombres parfaits même si l’on peut penser que les Pythagoriciens les
connaissaient déjà. Plus tard, ils se sont avérés utiles pour établir des horoscopes où leurs
propriétés mathématiques servaient à définir la nature de sentiments éthérés. Les deux
nombres 220 et 284 sont des nombres amiables. Pourquoi ? Eh bien, les diviseurs de 220
sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, et 110 et si on les additionne, on obtient 284. Vous
l’aviez deviné. Si vous calculez les diviseurs de 284 et les additionnez, vous obtenez 220.
Ça, c’est de l’amitié.
Puissance Résultat
Enlever 1
Nombre
(nombre de Mersenne)
premier ?
2
4
3
premier
3
8
7
premier
4
16
15
non premier
5
32
31
premier
6
64
63
non premier
7
128
127
premier
8
256
255
non premier
9
512
511
non premier
10
1 024
1 023
non premier
11
2 048
2 047
non premier
12
4 096
4 095
non premier
13
8 192
8 191
premier
14
16 384
16 383
non premier
15
32 768
32 767
non premier
42
Les nombres de Mersenne Pour
construire des nombres parfaits, on utilise une liste de nombres qui tiennent
leur nom du Père Marin Mersenne,
moine français qui étudia chez les
Jésuites avec René Descartes. Les deux
hommes s’intéressaient à la découverte
de nombres parfaits. Les nombres de
Mersenne, que l’on construit à partir de
puissances de 2, sont des doubles tels
que les nombres 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,
256… auxquels on soustrait une seule et
unique unité. Les nombres de Mersenne
sont de la forme 2
n – 1. Toujours impairs,
ils ne sont cependant pas toujours premiers. En revanche, on peut utiliser les
nombres de Mersenne premiers pour
construire des nombres parfaits.
Mersenne savait que si l’exposant de 2 n’était pas un nombre premier, alors le
nombre de Mersenne ne pouvait pas être un nombre premier non plus, comme c’est
le cas avec les puissances 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 et 15 dans notre tableau. Les nombres
de Mersenne ne peuvent être premiers que si la puissance est elle-même un nombre
premier, mais est-ce une condition suffisante ? Pour les quelques premiers cas, on
obtient bien 3, 7, 31 et 127, qui sont tous premiers. Est-il donc vrai qu’un nombre
de Mersenne formé avec un exposant premier est toujours premier lui aussi ?
De l’Antiquité jusqu’aux années 1500 environ, de nombreux mathématiciens pensaient qu’il en était ainsi. Mais les nombres premiers ne sont pas soumis à une telle
simplicité. Par exemple, on a trouvé que pour la puissance 11 (qui est un nombre
De bons amis, tout simplement
Le mathématicien, qui a la tête sur les épaules, ne s’intéresse d’ordinaire pas à la mystique des
nombres, mais la numérologie a encore de beaux jours devant elle. Les nombres amiables
sont venus après les nombres parfaits même si l’on peut penser que les Pythagoriciens les
connaissaient déjà. Plus tard, ils se sont avérés utiles pour établir des horoscopes où leurs
propriétés mathématiques servaient à définir la nature de sentiments éthérés. Les deux
nombres 220 et 284 sont des nombres amiables. Pourquoi ? Eh bien, les diviseurs de 220
sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, et 110 et si on les additionne, on obtient 284. Vous
l’aviez deviné. Si vous calculez les diviseurs de 284 et les additionnez, vous obtenez 220.
Ça, c’est de l’amitié.
Puissance Résultat
Enlever 1
Nombre
(nombre de Mersenne)
premier ?
2
4
3
premier
3
8
7
premier
4
16
15
non premier
5
32
31
premier
6
64
63
non premier
7
128
127
premier
8
256
255
non premier
9
512
511
non premier
10
1 024
1 023
non premier
11
2 048
2 047
non premier
12
4 096
4 095
non premier
13
8 192
8 191
premier
14
16 384
16 383
non premier
15
32 768
32 767
non premier