Les nombres parfaits 41
Un nombre est déficient dans le cas inverse, c’est-à-dire si la somme de ses diviseurs
stricts lui est inférieure. Ainsi, le nombre 26 est déficient parce que la somme de ses
diviseurs stricts 1, 2, et 13 est égale à 16, résultat qui est strictement inférieur à 26.
Les nombres premiers sont déficients parce que la somme de leurs diviseurs stricts
est toujours égale à 1.
Un nombre qui n’est ni abondant ni déficient est parfait. La somme de ses diviseurs
stricts est égale à lui-même. Le premier nombre parfait est 6. Ses diviseurs stricts sont
1, 2, 3 et si on les additionne, on obtient 6. Le nombre 6 et l’harmonie qui se dégage
de la combinaison de ses différentes parties fut une telle source d’enchantement
pour les Pythagoriciens qu’ils l’appelèrent « mariage, santé et beauté ». Il est une
autre histoire sur le nombre 6 racontée par saint Augustin (354-430). Selon lui, la
perfection du nombre 6 préexistait à la création du monde qui avait duré 6 jours, et
ce justement parce que ce nombre était parfait.
Le nombre parfait suivant est 28. Ses diviseurs stricts sont 1, 2, 4, 7 et 14 et, en les
additionnant, on obtient 28. Ces deux premiers nombres parfaits, 6 et 28, sont
plutôt particuliers parce que l’on peut prouver que tous les nombres parfaits
pairs se terminent par 6 ou 28. Après 28, il faut aller jusqu’à 496 pour trouver
le nombre parfait suivant. Il est facile de vérifier qu’il est égal à la somme
de ses diviseurs stricts : 496 = 1 + 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Pour trouver le nombre parfait suivant, il nous faut pénétrer dans
la stratosphère numérique. Les cinq premiers nombres parfaits
furent connus au xvi
e siècle, mais on ignore toujours s’il en existe
un qui serait plus grand que tous les autres, ou si leur nombre est
illimité. L’opinion qui semble prédominer nous dit que la marche
des nombres parfaits, comme celle des nombres premiers, se poursuit sans fin.
Les Pythagoriciens s’enthousiasmaient pour les liens géométriques.
Si l’on dispose d’un nombre parfait de perles, on peut les arranger
de manière à former un collier hexagonal. Avec 6 perles, on peut
obtenir un hexagone simple en les plaçant à chaque coin, mais avec
des nombres parfaits supérieurs, il faut insérer des colliers plus petits dans
le grand collier.
Rang
1
2
3
4
5
6
7
Nombre parfait
6
28
496
8 128 33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
Les premiers
nombres parfaits
2006
Le grand projet de recherche de nombres premiers permet
la découverte du 44
e premier de Mersenne (qui contient
presque 10 millions de chiffres) et pourtant il est encore
possible de générer un nombre parfait plus grand encore.
1603
Pietro Cataldi trouve les 6
e et 7
e nombres
parfaits, soient 2
16 (2
17 – 1) = 8 589 869 056
et 2
18 (2
19 – 1) = 137 438 691 328.
Un nombre est déficient dans le cas inverse, c’est-à-dire si la somme de ses diviseurs
stricts lui est inférieure. Ainsi, le nombre 26 est déficient parce que la somme de ses
diviseurs stricts 1, 2, et 13 est égale à 16, résultat qui est strictement inférieur à 26.
Les nombres premiers sont déficients parce que la somme de leurs diviseurs stricts
est toujours égale à 1.
Un nombre qui n’est ni abondant ni déficient est parfait. La somme de ses diviseurs
stricts est égale à lui-même. Le premier nombre parfait est 6. Ses diviseurs stricts sont
1, 2, 3 et si on les additionne, on obtient 6. Le nombre 6 et l’harmonie qui se dégage
de la combinaison de ses différentes parties fut une telle source d’enchantement
pour les Pythagoriciens qu’ils l’appelèrent « mariage, santé et beauté ». Il est une
autre histoire sur le nombre 6 racontée par saint Augustin (354-430). Selon lui, la
perfection du nombre 6 préexistait à la création du monde qui avait duré 6 jours, et
ce justement parce que ce nombre était parfait.
Le nombre parfait suivant est 28. Ses diviseurs stricts sont 1, 2, 4, 7 et 14 et, en les
additionnant, on obtient 28. Ces deux premiers nombres parfaits, 6 et 28, sont
plutôt particuliers parce que l’on peut prouver que tous les nombres parfaits
pairs se terminent par 6 ou 28. Après 28, il faut aller jusqu’à 496 pour trouver
le nombre parfait suivant. Il est facile de vérifier qu’il est égal à la somme
de ses diviseurs stricts : 496 = 1 + 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Pour trouver le nombre parfait suivant, il nous faut pénétrer dans
la stratosphère numérique. Les cinq premiers nombres parfaits
furent connus au xvi
e siècle, mais on ignore toujours s’il en existe
un qui serait plus grand que tous les autres, ou si leur nombre est
illimité. L’opinion qui semble prédominer nous dit que la marche
des nombres parfaits, comme celle des nombres premiers, se poursuit sans fin.
Les Pythagoriciens s’enthousiasmaient pour les liens géométriques.
Si l’on dispose d’un nombre parfait de perles, on peut les arranger
de manière à former un collier hexagonal. Avec 6 perles, on peut
obtenir un hexagone simple en les plaçant à chaque coin, mais avec
des nombres parfaits supérieurs, il faut insérer des colliers plus petits dans
le grand collier.
Rang
1
2
3
4
5
6
7
Nombre parfait
6
28
496
8 128 33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
Les premiers
nombres parfaits
2006
Le grand projet de recherche de nombres premiers permet
la découverte du 44
e premier de Mersenne (qui contient
presque 10 millions de chiffres) et pourtant il est encore
possible de générer un nombre parfait plus grand encore.
1603
Pietro Cataldi trouve les 6
e et 7
e nombres
parfaits, soient 2
16 (2
17 – 1) = 8 589 869 056
et 2
18 (2
19 – 1) = 137 438 691 328.