50 clés pour comprendre les maths
40
chronologie
Le philosophe grec Speusippe, qui reprit la direction de l’Académie après son oncle
Platon, déclara que pour les Pythagoriciens, le nombre 10 avait tout pour prétendre à
la perfection. Pourquoi ? Parce qu’entre 1 et 10, il y a autant de nombres premiers (à
savoir 2, 3, 5, 7) que de nombres qui ne le sont pas (4, 6, 8, 9), et parce qu’il est le plus
petit nombre à posséder cette propriété. Certains ont une idée bizarre de la perfection !
Les Pythagoriciens avaient semble-t-il une conception plus élaborée des nombres
parfaits. Les propriétés mathématiques des nombres parfaits furent énoncées par
Euclide dans ses Éléments et étudiées en profondeur par Nicomaque 400 ans plus
tard. Une définition des nombres amiables et même de nombres sociables s’ensuivit.
Cette définition reposait sur certains rapports qui existaient entre les nombres
concernés et leurs diviseurs. Puis, ils formulèrent la théorie des nombres abondants
et des nombres déficients, ce qui les amena à définir le concept de perfection.
Le caractère abondant d’un nombre est déterminé par ses diviseurs et fait jouer
le lien entre multiplication et addition. Prenons le nombre 30 et considérons ses
diviseurs stricts, c’est-à-dire tous les nombres qui le divisent exactement et qui sont
strictement inférieurs à 30. Pour un nombre aussi petit que 30, on voit immédiatement que ses diviseurs stricts sont 1, 2, 3, 5, 6, 10 et 15. En faisant le total de ces
diviseurs, on obtient 42. Le nombre 30 est abondant parce que la somme de ses
diviseurs (42) est supérieure au nombre 30 lui-même.
En mathématiques, la quête de la perfection a conduit ceux qui s’y consacrent
à explorer différents domaines. Il y a par exemple les carrés parfaits, dont la
perfection n’a cependant rien à voir avec l’esthétique. L’adjectif « parfait » est ici
employé pour signaler l’existence de carrés imparfaits. Autre exemple : certains
nombres ont peu de diviseurs alors que d’autres en sont largement pourvus, mais,
comme dans l’histoire de Boucle d’Or et des trois ours, certains nombres sont
« juste comme il faut ». Lorsque la somme des diviseurs stricts d’un nombre est
égal à ce nombre lui-même, ont dit alors qu’il est parfait.
Les nombres
parfaits
10
100 ap. J.-C.
Nicomaque de Gérase
donne une classification
des nombres qui repose sur
des nombres parfaits.
300 av. J.-C.
Le Livre 9 des Éléments
d’Euclide traite des
nombres parfaits.
525 av. J.-C.
Les Pythagoriciens travaillent
à la fois sur les nombres
parfaits et les nombres
abondants.
40
chronologie
Le philosophe grec Speusippe, qui reprit la direction de l’Académie après son oncle
Platon, déclara que pour les Pythagoriciens, le nombre 10 avait tout pour prétendre à
la perfection. Pourquoi ? Parce qu’entre 1 et 10, il y a autant de nombres premiers (à
savoir 2, 3, 5, 7) que de nombres qui ne le sont pas (4, 6, 8, 9), et parce qu’il est le plus
petit nombre à posséder cette propriété. Certains ont une idée bizarre de la perfection !
Les Pythagoriciens avaient semble-t-il une conception plus élaborée des nombres
parfaits. Les propriétés mathématiques des nombres parfaits furent énoncées par
Euclide dans ses Éléments et étudiées en profondeur par Nicomaque 400 ans plus
tard. Une définition des nombres amiables et même de nombres sociables s’ensuivit.
Cette définition reposait sur certains rapports qui existaient entre les nombres
concernés et leurs diviseurs. Puis, ils formulèrent la théorie des nombres abondants
et des nombres déficients, ce qui les amena à définir le concept de perfection.
Le caractère abondant d’un nombre est déterminé par ses diviseurs et fait jouer
le lien entre multiplication et addition. Prenons le nombre 30 et considérons ses
diviseurs stricts, c’est-à-dire tous les nombres qui le divisent exactement et qui sont
strictement inférieurs à 30. Pour un nombre aussi petit que 30, on voit immédiatement que ses diviseurs stricts sont 1, 2, 3, 5, 6, 10 et 15. En faisant le total de ces
diviseurs, on obtient 42. Le nombre 30 est abondant parce que la somme de ses
diviseurs (42) est supérieure au nombre 30 lui-même.
En mathématiques, la quête de la perfection a conduit ceux qui s’y consacrent
à explorer différents domaines. Il y a par exemple les carrés parfaits, dont la
perfection n’a cependant rien à voir avec l’esthétique. L’adjectif « parfait » est ici
employé pour signaler l’existence de carrés imparfaits. Autre exemple : certains
nombres ont peu de diviseurs alors que d’autres en sont largement pourvus, mais,
comme dans l’histoire de Boucle d’Or et des trois ours, certains nombres sont
« juste comme il faut ». Lorsque la somme des diviseurs stricts d’un nombre est
égal à ce nombre lui-même, ont dit alors qu’il est parfait.
Les nombres
parfaits
10
100 ap. J.-C.
Nicomaque de Gérase
donne une classification
des nombres qui repose sur
des nombres parfaits.
300 av. J.-C.
Le Livre 9 des Éléments
d’Euclide traite des
nombres parfaits.
525 av. J.-C.
Les Pythagoriciens travaillent
à la fois sur les nombres
parfaits et les nombres
abondants.