Les nombres premiers 39
Le grand théoricien des nombres Pierre de Fermat a prouvé que tout nombre premier
de la forme 4k + 1 peut s’écrire de manière unique comme somme de deux carrés (par
exemple, 17 = 1
2 + 4
2
), alors que ceux de la forme 4k + 3 (comme 19) ne le peuvent
absolument pas. Joseph Lagrange a également prouvé un célèbre théorème mathématique sur les carrés : tout entier naturel positif est somme de quatre carrés. On a donc
par exemple, 19 = 1
2 + 1
2 + 1
2 + 4
2
. On a exploré des puissances supérieures, rempli des
livres de théorèmes, mais un grand nombre de problèmes restent ouverts.
Nous avons décrit les nombres premiers comme les « atomes des mathématiques ».
Mais peut-être pensez-vous : « Les physiciens ont dépassé les atomes pour atteindre
des unités plus fondamentales encore, comme les quarks. Et les mathématiques, se
sont-elles arrêtées là ? » Si l’on s’en tient aux entiers naturels, 5 est un nombre premier et le restera, mais Gauss a fait une découverte de grande importance. Certains
nombres premiers, 5 par exemple, peuvent se décomposer comme suit : 5 = (1 – 2i)
× (1 + 2i) où i = √–1 dans le système des nombres imaginaires. En tant que produits
de deux entiers de Gauss, 5 et tous les nombres de ce type ne sont pas aussi indécomposables qu’on le pensait autrefois.
Le nombre du numérologue
L’un des domaines les plus stimulants de la théorie des nombres concerne le « problème de
Waring ». En 1770, Edward Waring, professeur à l’université de Cambridge, a formulé des
problèmes qui portent sur la possibilité d’écrire les entiers comme sommes de puissances
d’entiers. Dans ce cadre, arts magiques de la numérologie et science clinique des mathématiques se rencontrent là où se trouvent des nombres premiers, des sommes de carrés et
des sommes de cubes. En numérologie, prenez ce nombre culte et sans égal, à savoir, le
666, le « nombre de la bête » dans l’Apocalypse. Il a quelques propriétés inattendues. C’est
la somme des carrés des 7 premiers nombres premiers :
666 = 2
2 + 3
2 + 5
2 + 7
2 + 11
2 + 13
2 + 17
2
Les numérologues se plaisent toujours à faire remarquer que c’est la somme de cubes
palindromiques, et, si cela ne suffit pas, que la clé de voûte 6
3 au centre est également la
notation abrégée de 6 × 6 × 6 :
666 = 1
3 + 2
3 + 3
3 + 4
3 + 5
3 + 6
3 + 5
3 + 4
3 + 3
3 + 2
3 + 1
3
Le nombre 666 a tout pour plaire au numérologue.
l’idée clé
Les atomes
des mathématiques
Le grand théoricien des nombres Pierre de Fermat a prouvé que tout nombre premier
de la forme 4k + 1 peut s’écrire de manière unique comme somme de deux carrés (par
exemple, 17 = 1
2 + 4
2
), alors que ceux de la forme 4k + 3 (comme 19) ne le peuvent
absolument pas. Joseph Lagrange a également prouvé un célèbre théorème mathématique sur les carrés : tout entier naturel positif est somme de quatre carrés. On a donc
par exemple, 19 = 1
2 + 1
2 + 1
2 + 4
2
. On a exploré des puissances supérieures, rempli des
livres de théorèmes, mais un grand nombre de problèmes restent ouverts.
Nous avons décrit les nombres premiers comme les « atomes des mathématiques ».
Mais peut-être pensez-vous : « Les physiciens ont dépassé les atomes pour atteindre
des unités plus fondamentales encore, comme les quarks. Et les mathématiques, se
sont-elles arrêtées là ? » Si l’on s’en tient aux entiers naturels, 5 est un nombre premier et le restera, mais Gauss a fait une découverte de grande importance. Certains
nombres premiers, 5 par exemple, peuvent se décomposer comme suit : 5 = (1 – 2i)
× (1 + 2i) où i = √–1 dans le système des nombres imaginaires. En tant que produits
de deux entiers de Gauss, 5 et tous les nombres de ce type ne sont pas aussi indécomposables qu’on le pensait autrefois.
Le nombre du numérologue
L’un des domaines les plus stimulants de la théorie des nombres concerne le « problème de
Waring ». En 1770, Edward Waring, professeur à l’université de Cambridge, a formulé des
problèmes qui portent sur la possibilité d’écrire les entiers comme sommes de puissances
d’entiers. Dans ce cadre, arts magiques de la numérologie et science clinique des mathématiques se rencontrent là où se trouvent des nombres premiers, des sommes de carrés et
des sommes de cubes. En numérologie, prenez ce nombre culte et sans égal, à savoir, le
666, le « nombre de la bête » dans l’Apocalypse. Il a quelques propriétés inattendues. C’est
la somme des carrés des 7 premiers nombres premiers :
666 = 2
2 + 3
2 + 5
2 + 7
2 + 11
2 + 13
2 + 17
2
Les numérologues se plaisent toujours à faire remarquer que c’est la somme de cubes
palindromiques, et, si cela ne suffit pas, que la clé de voûte 6
3 au centre est également la
notation abrégée de 6 × 6 × 6 :
666 = 1
3 + 2
3 + 3
3 + 4
3 + 5
3 + 6
3 + 5
3 + 4
3 + 3
3 + 2
3 + 1
3
Le nombre 666 a tout pour plaire au numérologue.
l’idée clé
Les atomes
des mathématiques