50 clés pour comprendre les maths
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Combien ? Il y a une infinité de nombres premiers. Euclide nota dans ses Éléments
(Livre 9, Proposition 20) que « les nombres premiers sont plus nombreux que toute
multitude de nombres premiers proposée ». Voici la belle preuve qu’en donne Euclide :
Supposons que P est le plus grand nombre premier, et considérons le nombre
N = (2 × 3 × 5 × … × P) + 1.
Ou bien N est un nombre premier ou bien il ne l’est pas. Si N est premier, c’est un
nombre premier plus grand que P, ce qui est en contradiction avec notre supposition.
Si N n’est pas premier, il doit être divisible par un nombre premier, par exemple p, qui
figure dans la liste 2, 3, 5, …, P des nombres premiers. Cela signifie que p est diviseur de
N – (2 × 3 × 5 × … × P). Mais ce nombre est égal à 1 et donc p est un diviseur de 1. C’est
impossible puisque tous les nombres premiers sont supérieurs à 1. Ainsi, quelle que soit
la nature de N, nous arrivons à une contradiction. Notre supposition de départ selon
laquelle il y a un nombre premier supérieur à tous les autres est donc fausse. Conclusion :
le nombre de nombres premiers est infini.
Les nombres premiers « s’étendent à l’infini », et pourtant cela n’a pas empêché certains de partir en quête du plus grand nombre premier connu. Le record était détenu il
y a peu par ce gigantesque nombre premier de Mersenne qui s’écrit 2
24 036 583 – 1, et dont
la valeur approximative est égale à 7,236 × 10
12 (ou environ 7 millions de millions).
L’inconnu De remarquables terres inconnues restent à découvrir dans le
domaine des nombres premiers, tels que le « problème des nombres premiers
jumeaux » ou la célèbre « conjecture de Goldbach ».
Les nombres premiers jumeaux sont des couples de nombres premiers consécutifs
séparés par un seul nombre pair. Voici la liste des nombres premiers jumeaux compris entre 1 et 100 : (3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ;
(71, 73). Des calculs numériques ont permis de montrer qu’il y a 27 412 679 nombres
premiers jumeaux inférieurs ou égaux à 10
10
. Cela signifie que les nombres pairs qui
séparent des nombres premiers jumeaux, comme 12 par exemple (qui a pour nombres
jumeaux 11 et 13), ne constituent que 0,274% des nombres dans cet intervalle. Y-at-il une infinité de nombres premiers jumeaux ? Ce serait curieux si tel n’était pas le
cas, mais personne n’a jusqu’à aujourd’hui réussi à en trouver une preuve.
Christian Goldbach a conjecturé que :
Tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est somme de deux nombres premiers.
Le nombre 42 par exemple est un nombre pair qui peut s’écrire sous la forme 5 + 37.
Peu importe qu’il soit aussi possible de l’écrire sous la forme 11 + 31, 13 + 29 ou
19 + 23. Une seule forme suffit. La conjecture est vraie pour une grande catégorie
de nombres, mais la preuve n’a jamais pu être généralisée à l’ensemble des nombres
entiers. Des progrès ont cependant été accomplis donnant ainsi l’impression qu’une
preuve était à portée de main. Le mathématicien chinois Chen Jingrun permit une
grande avancée. Son théorème dit que tout nombre pair suffisamment grand peut
s’écrire comme somme d’un nombre premier et d’un nombre presque premier (nombre
premier ou produit de deux nombres premiers).
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Combien ? Il y a une infinité de nombres premiers. Euclide nota dans ses Éléments
(Livre 9, Proposition 20) que « les nombres premiers sont plus nombreux que toute
multitude de nombres premiers proposée ». Voici la belle preuve qu’en donne Euclide :
Supposons que P est le plus grand nombre premier, et considérons le nombre
N = (2 × 3 × 5 × … × P) + 1.
Ou bien N est un nombre premier ou bien il ne l’est pas. Si N est premier, c’est un
nombre premier plus grand que P, ce qui est en contradiction avec notre supposition.
Si N n’est pas premier, il doit être divisible par un nombre premier, par exemple p, qui
figure dans la liste 2, 3, 5, …, P des nombres premiers. Cela signifie que p est diviseur de
N – (2 × 3 × 5 × … × P). Mais ce nombre est égal à 1 et donc p est un diviseur de 1. C’est
impossible puisque tous les nombres premiers sont supérieurs à 1. Ainsi, quelle que soit
la nature de N, nous arrivons à une contradiction. Notre supposition de départ selon
laquelle il y a un nombre premier supérieur à tous les autres est donc fausse. Conclusion :
le nombre de nombres premiers est infini.
Les nombres premiers « s’étendent à l’infini », et pourtant cela n’a pas empêché certains de partir en quête du plus grand nombre premier connu. Le record était détenu il
y a peu par ce gigantesque nombre premier de Mersenne qui s’écrit 2
24 036 583 – 1, et dont
la valeur approximative est égale à 7,236 × 10
12 (ou environ 7 millions de millions).
L’inconnu De remarquables terres inconnues restent à découvrir dans le
domaine des nombres premiers, tels que le « problème des nombres premiers
jumeaux » ou la célèbre « conjecture de Goldbach ».
Les nombres premiers jumeaux sont des couples de nombres premiers consécutifs
séparés par un seul nombre pair. Voici la liste des nombres premiers jumeaux compris entre 1 et 100 : (3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; (41, 43) ; (59, 61) ;
(71, 73). Des calculs numériques ont permis de montrer qu’il y a 27 412 679 nombres
premiers jumeaux inférieurs ou égaux à 10
10
. Cela signifie que les nombres pairs qui
séparent des nombres premiers jumeaux, comme 12 par exemple (qui a pour nombres
jumeaux 11 et 13), ne constituent que 0,274% des nombres dans cet intervalle. Y-at-il une infinité de nombres premiers jumeaux ? Ce serait curieux si tel n’était pas le
cas, mais personne n’a jusqu’à aujourd’hui réussi à en trouver une preuve.
Christian Goldbach a conjecturé que :
Tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est somme de deux nombres premiers.
Le nombre 42 par exemple est un nombre pair qui peut s’écrire sous la forme 5 + 37.
Peu importe qu’il soit aussi possible de l’écrire sous la forme 11 + 31, 13 + 29 ou
19 + 23. Une seule forme suffit. La conjecture est vraie pour une grande catégorie
de nombres, mais la preuve n’a jamais pu être généralisée à l’ensemble des nombres
entiers. Des progrès ont cependant été accomplis donnant ainsi l’impression qu’une
preuve était à portée de main. Le mathématicien chinois Chen Jingrun permit une
grande avancée. Son théorème dit que tout nombre pair suffisamment grand peut
s’écrire comme somme d’un nombre premier et d’un nombre presque premier (nombre
premier ou produit de deux nombres premiers).