Les nombres premiers 37
1966
Chen Jingrun n’est pas loin
de confirmer la conjecture
de Goldbach.
1896
Le théorème des nombres premiers
sur la distribution des nombres
premiers est prouvé.
1742 ap. J.-C.
Goldbach conjecture que tout entier
pair (supérieur ou égal à 4) est
somme de deux nombres premiers.
La chasse aux nombres premiers Il n’existe malheureusement pas de formule toute faite pour identifier les nombres premiers, dont l’apparence ne semble
pas présenter de différence notable avec celle des autres entiers. L’une des premières
méthodes pour y parvenir fut mise au point par un contemporain d’Archimède,
plus jeune que lui cependant, qui passa la majeure
partie de sa vie à Athènes : Ératosthène de Cyrène.
Son calcul précis de la longueur de l’équateur suscita
une grande admiration à l’époque. Il est aujourd’hui
célèbre pour son « crible ». Ératosthène a imaginé que
les nombres entiers s’étalaient devant lui. Il souligna
2 et raya tous les multiples de 2. Il passa ensuite à 3,
le souligna et raya tous les multiples de 3. Avec ce
procédé, il élimina tous les nombres composés. Les
nombres soulignés non barrés qui restaient dans le
crible étaient les nombres premiers.
On peut donc trouver des nombres premiers, mais comment savoir si un nombre
donné est un nombre premier ou non ? Qu’en est-il de 19 071 ou de 19 073 ? À
l’exception des nombres premiers 2 et 5, un nombre premier doit se terminer par
1, 3, 7, ou 9, mais ce n’est pas une condition suffisante pour dire s’il s’agit d’un
nombre premier. Il est difficile de savoir si un grand nombre qui se termine par 1,
3, 7 ou 9 est un nombre premier ou non sans essayer des facteurs possibles. Au fait,
19 071 = 3
2 × 13 × 163 et n’est donc pas un nombre premier, mais 19 073 en est un.
L’étude de la distribution des nombres premiers constitue un autre défi. Voyons
combien il y a de nombres premiers entre 1 et 1 000, dans chaque segment de 100.
Intervalle
1–100 101–200 201–300 301–400 401–500 501–600 601–700 701–800 801–900 901–1000 1–1000
Nombre de
nombres premiers
25
21
16
16
17
14
16
14
15
14
168
En 1792, Carl Friedrich Gauss, alors tout juste âgé de 15 ans, suggéra une formule
notée P(n) pour estimer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un
nombre donné n (ce théorème est aujourd’hui connu sous le nom de théorème des
nombres premiers). Pour n = 1 000, la formule donne une valeur approximative de
172. Il y en a en réalité 168, ce qui est inférieur à ce que donne l’estimation. On a toujours admis qu’il en allait ainsi pour toute valeur de n, mais les nombres premiers nous
réservent souvent quelques surprises. On a ainsi montré que pour n = 10
371 (nombre
gigantesque qui s’écrirait avec un 1 suivi de 371 zéros), le nombre de nombres premiers dépasse l’estimation. En fait, dans certaines régions, le nombre exact de nombres
premiers peut être inférieur ou supérieur à l’estimation qui en est faite.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
1966
Chen Jingrun n’est pas loin
de confirmer la conjecture
de Goldbach.
1896
Le théorème des nombres premiers
sur la distribution des nombres
premiers est prouvé.
1742 ap. J.-C.
Goldbach conjecture que tout entier
pair (supérieur ou égal à 4) est
somme de deux nombres premiers.
La chasse aux nombres premiers Il n’existe malheureusement pas de formule toute faite pour identifier les nombres premiers, dont l’apparence ne semble
pas présenter de différence notable avec celle des autres entiers. L’une des premières
méthodes pour y parvenir fut mise au point par un contemporain d’Archimède,
plus jeune que lui cependant, qui passa la majeure
partie de sa vie à Athènes : Ératosthène de Cyrène.
Son calcul précis de la longueur de l’équateur suscita
une grande admiration à l’époque. Il est aujourd’hui
célèbre pour son « crible ». Ératosthène a imaginé que
les nombres entiers s’étalaient devant lui. Il souligna
2 et raya tous les multiples de 2. Il passa ensuite à 3,
le souligna et raya tous les multiples de 3. Avec ce
procédé, il élimina tous les nombres composés. Les
nombres soulignés non barrés qui restaient dans le
crible étaient les nombres premiers.
On peut donc trouver des nombres premiers, mais comment savoir si un nombre
donné est un nombre premier ou non ? Qu’en est-il de 19 071 ou de 19 073 ? À
l’exception des nombres premiers 2 et 5, un nombre premier doit se terminer par
1, 3, 7, ou 9, mais ce n’est pas une condition suffisante pour dire s’il s’agit d’un
nombre premier. Il est difficile de savoir si un grand nombre qui se termine par 1,
3, 7 ou 9 est un nombre premier ou non sans essayer des facteurs possibles. Au fait,
19 071 = 3
2 × 13 × 163 et n’est donc pas un nombre premier, mais 19 073 en est un.
L’étude de la distribution des nombres premiers constitue un autre défi. Voyons
combien il y a de nombres premiers entre 1 et 1 000, dans chaque segment de 100.
Intervalle
1–100 101–200 201–300 301–400 401–500 501–600 601–700 701–800 801–900 901–1000 1–1000
Nombre de
nombres premiers
25
21
16
16
17
14
16
14
15
14
168
En 1792, Carl Friedrich Gauss, alors tout juste âgé de 15 ans, suggéra une formule
notée P(n) pour estimer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un
nombre donné n (ce théorème est aujourd’hui connu sous le nom de théorème des
nombres premiers). Pour n = 1 000, la formule donne une valeur approximative de
172. Il y en a en réalité 168, ce qui est inférieur à ce que donne l’estimation. On a toujours admis qu’il en allait ainsi pour toute valeur de n, mais les nombres premiers nous
réservent souvent quelques surprises. On a ainsi montré que pour n = 10
371 (nombre
gigantesque qui s’écrirait avec un 1 suivi de 371 zéros), le nombre de nombres premiers dépasse l’estimation. En fait, dans certaines régions, le nombre exact de nombres
premiers peut être inférieur ou supérieur à l’estimation qui en est faite.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99