50 clés pour comprendre les maths
36
chronologie
300 av. J.-C.
Euclide, dans ses Éléments,
donne la preuve de l’infinité
des nombres premiers.
230 av. J.-C.
Ératosthène de Cyrène décrit une méthode
pour cribler les nombres premiers
et les séparer des autres entiers.
Eh bien, commençons avec 4 = 2 × 2. On peut donc fragmenter 4 en composants primaires. Peut-on décomposer ainsi tous les autres nombres quels qu’ils soient ? En voici
quelques autres : 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5, 12 = 2 × 2 × 3. Ce sont
des nombres composés car ils se construisent à partir des nombres de base 2, 3, 5, 7, …
Les « nombres indécomposables » sont les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, … On les appelle
les nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par
1 et par lui-même. On peut alors se demander si 1 est un nombre premier. Selon cette
définition, il devrait l’être, et il est vrai que par le passé, plusieurs grands mathématiciens ont traité 1 comme un nombre premier, mais aujourd’hui, les mathématiciens
commencent leur liste de nombres premiers avec 2. Les théorèmes peuvent ainsi être
formulés avec élégance. Pour nous aussi, le nombre 2 est le premier de la liste.
Prenons les premiers entiers naturels non nuls et soulignons les nombres premiers :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, … L’étude
des nombres premiers nous ramène à ce qu’il y a de plus basique en mathématiques.
Ils sont importants parce qu’ils en sont les « atomes ». De même que les éléments
chimiques de base permettent de dériver tous les autres composés chimiques, les
nombres premiers peuvent servir à la construction de composés mathématiques.
Le résultat mathématique autour duquel tout s’articule s’appelle pompeusement
« le théorème de la décomposition en facteurs premiers des entiers ». Il dit que tout
entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique en produit de nombres
premiers. Nous avons vu que 12 = 2 × 2 × 3 et qu’il n’existe aucune autre manière de
le décomposer en produit de nombres premiers. Un tel résultat s’écrit souvent sous
la forme condensée : 12 = 2
2 × 3. Autre exemple de ce type, 6 545 448 peut s’écrire
2
3 × 3
5 × 7 × 13 × 37.
Les mathématiques sont une discipline puissante qui n’en finit pas de s’ingérer
dans toutes les entreprises humaines, à tel point que l’on peut parfois avoir
l’impression d’être dépassé. Il faut de temps en temps retourner aux bases. Cela
signifie invariablement un retour aux nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Peut-on faire encore plus simple ?
Les nombres
premiers
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chronologie
300 av. J.-C.
Euclide, dans ses Éléments,
donne la preuve de l’infinité
des nombres premiers.
230 av. J.-C.
Ératosthène de Cyrène décrit une méthode
pour cribler les nombres premiers
et les séparer des autres entiers.
Eh bien, commençons avec 4 = 2 × 2. On peut donc fragmenter 4 en composants primaires. Peut-on décomposer ainsi tous les autres nombres quels qu’ils soient ? En voici
quelques autres : 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5, 12 = 2 × 2 × 3. Ce sont
des nombres composés car ils se construisent à partir des nombres de base 2, 3, 5, 7, …
Les « nombres indécomposables » sont les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, … On les appelle
les nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par
1 et par lui-même. On peut alors se demander si 1 est un nombre premier. Selon cette
définition, il devrait l’être, et il est vrai que par le passé, plusieurs grands mathématiciens ont traité 1 comme un nombre premier, mais aujourd’hui, les mathématiciens
commencent leur liste de nombres premiers avec 2. Les théorèmes peuvent ainsi être
formulés avec élégance. Pour nous aussi, le nombre 2 est le premier de la liste.
Prenons les premiers entiers naturels non nuls et soulignons les nombres premiers :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, … L’étude
des nombres premiers nous ramène à ce qu’il y a de plus basique en mathématiques.
Ils sont importants parce qu’ils en sont les « atomes ». De même que les éléments
chimiques de base permettent de dériver tous les autres composés chimiques, les
nombres premiers peuvent servir à la construction de composés mathématiques.
Le résultat mathématique autour duquel tout s’articule s’appelle pompeusement
« le théorème de la décomposition en facteurs premiers des entiers ». Il dit que tout
entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique en produit de nombres
premiers. Nous avons vu que 12 = 2 × 2 × 3 et qu’il n’existe aucune autre manière de
le décomposer en produit de nombres premiers. Un tel résultat s’écrit souvent sous
la forme condensée : 12 = 2
2 × 3. Autre exemple de ce type, 6 545 448 peut s’écrire
2
3 × 3
5 × 7 × 13 × 37.
Les mathématiques sont une discipline puissante qui n’en finit pas de s’ingérer
dans toutes les entreprises humaines, à tel point que l’on peut parfois avoir
l’impression d’être dépassé. Il faut de temps en temps retourner aux bases. Cela
signifie invariablement un retour aux nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Peut-on faire encore plus simple ?
Les nombres
premiers
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