Les nombres imaginaires 35
du xix
e siècle, le premier de son pays. Il reconnut que i n’était pas
vraiment nécessaire pour la théorie. Pour lui, il servait seulement à occuper une place libre et l’on pouvait donc s’en
débarrasser. Hamilton considérait les nombres complexes
comme des « couples ordonnés » de nombres réels (a, b),
faisant ainsi ressortir leur caractère bi-dimensionnel et
ce, sans faire appel au mystique √–1.
Sans i, l’addition s’écrit (2, 3) + (8, 4) = (10, 7)
Et, de manière moins évidente, la multiplication
s’écrit (2, 3) × (8, 4) = (4, 32)
Le système de nombres complexes est un système très
complet, caractéristique qui apparaît plus clairement
lorsque l’on pense à ce que l’on appelle « les racines n
èmes de
l’unité » (pour les mathématiciens, « unité » signifie « 1 »). Ce
sont les solutions de l’équation z
n = 1. À titre d’exemple, considérons
l’équation z
6 = 1. Les deux racines z = 1 et z = – 1 sont sur la droite des nombres
réels (parce que 1
6 = 1 et (– 1)
6 = 1), mais où sont donc les quatre racines restantes,
puisqu’il doit y en avoir six ? À l’image des deux racines réelles, les six racines complexes ont toutes un module égal à 1, et se trouvent donc toutes sur le cercle de
rayon 1 et dont le centre est l’origine.
Il y a plus que cela. Si nous examinons w =
1 + 3 √i
2
2
, qui est la racine dans le premier
quart de cercle, les racines successives (en allant dans le sens inverse des aiguilles d’une
montre) sont w
2
, w
3
, w
4
, w
5
, w
6 = 1. Elles se trouvent toutes sur les sommets d’un hexagone régulier. De manière générale, les racines n
èmes de l’unité sont toutes sur le cercle
défini ci-dessus, et sur les « coins » ou « sommets » d’un polygone régulier à n côtés.
Extension des nombres complexes Une fois que les mathématiciens eurent
à leur disposition les nombres complexes, ils cherchèrent instinctivement des généralisations. Les nombres complexes sont en dimension 2, mais qu’a-t-il de spécial, ce
nombre 2 ? Pendant des années, Hamilton a cherché à construire des nombres en
dimension 3 et à trouver une façon de les additionner et de les multiplier, mais en vain,
et c’est seulement avec des nombres en dimension 4 qu’il y parvint. Peu après cette
prouesse, on est passé des nombres en dimension 4 aux nombres en dimensions 8 (les
nombres de Cayley, appelés aussi octaves ou octonions de Cayley). Beaucoup se sont
interrogés sur les nombres en dimension 16 comme suite possible à toute cette histoire,
mais 50 ans après l’exploit crucial de Hamilton, on prouva que c’était impossible.
l’idée clé
Nombres irréels aux
réelles applications
+1
x
y
w
5
w
0
w
-1
w
3
w
2
w
4
du xix
e siècle, le premier de son pays. Il reconnut que i n’était pas
vraiment nécessaire pour la théorie. Pour lui, il servait seulement à occuper une place libre et l’on pouvait donc s’en
débarrasser. Hamilton considérait les nombres complexes
comme des « couples ordonnés » de nombres réels (a, b),
faisant ainsi ressortir leur caractère bi-dimensionnel et
ce, sans faire appel au mystique √–1.
Sans i, l’addition s’écrit (2, 3) + (8, 4) = (10, 7)
Et, de manière moins évidente, la multiplication
s’écrit (2, 3) × (8, 4) = (4, 32)
Le système de nombres complexes est un système très
complet, caractéristique qui apparaît plus clairement
lorsque l’on pense à ce que l’on appelle « les racines n
èmes de
l’unité » (pour les mathématiciens, « unité » signifie « 1 »). Ce
sont les solutions de l’équation z
n = 1. À titre d’exemple, considérons
l’équation z
6 = 1. Les deux racines z = 1 et z = – 1 sont sur la droite des nombres
réels (parce que 1
6 = 1 et (– 1)
6 = 1), mais où sont donc les quatre racines restantes,
puisqu’il doit y en avoir six ? À l’image des deux racines réelles, les six racines complexes ont toutes un module égal à 1, et se trouvent donc toutes sur le cercle de
rayon 1 et dont le centre est l’origine.
Il y a plus que cela. Si nous examinons w =
1 + 3 √i
2
2
, qui est la racine dans le premier
quart de cercle, les racines successives (en allant dans le sens inverse des aiguilles d’une
montre) sont w
2
, w
3
, w
4
, w
5
, w
6 = 1. Elles se trouvent toutes sur les sommets d’un hexagone régulier. De manière générale, les racines n
èmes de l’unité sont toutes sur le cercle
défini ci-dessus, et sur les « coins » ou « sommets » d’un polygone régulier à n côtés.
Extension des nombres complexes Une fois que les mathématiciens eurent
à leur disposition les nombres complexes, ils cherchèrent instinctivement des généralisations. Les nombres complexes sont en dimension 2, mais qu’a-t-il de spécial, ce
nombre 2 ? Pendant des années, Hamilton a cherché à construire des nombres en
dimension 3 et à trouver une façon de les additionner et de les multiplier, mais en vain,
et c’est seulement avec des nombres en dimension 4 qu’il y parvint. Peu après cette
prouesse, on est passé des nombres en dimension 4 aux nombres en dimensions 8 (les
nombres de Cayley, appelés aussi octaves ou octonions de Cayley). Beaucoup se sont
interrogés sur les nombres en dimension 16 comme suite possible à toute cette histoire,
mais 50 ans après l’exploit crucial de Hamilton, on prouva que c’était impossible.
l’idée clé
Nombres irréels aux
réelles applications
+1
x
y
w
5
w
0
w
-1
w
3
w
2
w
4