50 clés pour comprendre les maths
34
La multiplication est presque aussi simple. Pour multiplier 2 + 3i par 8 + 4i, on
multiplie d’abord chaque paire de symboles ensemble
(2 + 3i) × (8 + 4i) = (2 × 8) + (2 × 4i) + (3i × 8) + (3i × 4i)
et on additionne tous les termes obtenus, 16, 8i, 24i et 12i
2 (dans ce dernier terme
on remplace i
2 par – 1). Le résultat de la multiplication est donc (16 – 12) + (8i + 24i),
soit le nombre complexe 4 + 32i.
Avec les nombres complexes, toutes les règles de l’arithmétique ordinaire sont respectées. La soustraction et la division sont toujours possibles (sauf avec le nombre
complexe 0 + 0i, mais elles n’étaient pas non plus autorisées pour le zéro avec les
nombres réels). En fait, les nombres complexes bénéficient de toutes les propriétés
des nombres réels sauf une. On ne peut pas séparer positifs et négatifs comme on le
faisait avec les nombres réels.
Le plan d’Argand-Cauchy On voit clairement que les nombres complexes
sont en dimension 2 si on les représente dans un plan
muni d’un repère. Les nombres complexes – 3 + i et 1 + 2i
peuvent être représentés dans ce que l’on appelle le plan
d’Argand-Cauchy. Cette représentation des nombres complexes tient son nom de Jean-Robert Argand, mathématicien suisse et du français Augustin Cauchy, même si
d’autres qu’eux travaillaient sur une idée similaire à
peu près à la même époque.
Tous les nombres complexes ont un « partenaire » que
l’on appelle « conjugué ». Le conjugué de 1 + 2i est 1 – 2i
qui s’obtient en inversant le signe du coefficient de i. De
la même façon, le conjugué de 1 – 2i est 1 + 2i. Il s’agit
donc d’une véritable union. Le résultat des additions et
des multiplications de nombres conjugués est toujours un
nombre réel. Si l’on ajoute 1 + 2i à 1 – 2i on obtient 2,
et en les multipliant on obtient 5. Cette multiplication
est plus intéressante. Le nombre 5 que l’on obtient est le
carré de la « longueur » ou, en termes mathématiques, du
« module » du nombre complexe 1 + 2i, et ce résultat est
égal au module de son conjugué. En d’autres termes, on
pourrait définir le module d’un nombre complexe ainsi :
module de w = √(w × conjugué de w)
Si on fait le calcul avec – 3 + i en guise de test, on trouve :
module de (– 3 + i) = √(– 3 + i) × (– 3 – i) = √(9 + 1)
et donc le module de – 3 + i est égal à √10.
Si les nombres complexes ne sont plus considérés comme des nombres mystiques, on
le doit surtout à Sir William Rowan Hamilton, le plus grand mathématicien irlandais
- 3 + i
- 3
2
2
0
1
1
1 + 2 i
1 - 2 i (conjugué)
√
–
5
√
–
5
2
1
1
1 + 2 i
34
La multiplication est presque aussi simple. Pour multiplier 2 + 3i par 8 + 4i, on
multiplie d’abord chaque paire de symboles ensemble
(2 + 3i) × (8 + 4i) = (2 × 8) + (2 × 4i) + (3i × 8) + (3i × 4i)
et on additionne tous les termes obtenus, 16, 8i, 24i et 12i
2 (dans ce dernier terme
on remplace i
2 par – 1). Le résultat de la multiplication est donc (16 – 12) + (8i + 24i),
soit le nombre complexe 4 + 32i.
Avec les nombres complexes, toutes les règles de l’arithmétique ordinaire sont respectées. La soustraction et la division sont toujours possibles (sauf avec le nombre
complexe 0 + 0i, mais elles n’étaient pas non plus autorisées pour le zéro avec les
nombres réels). En fait, les nombres complexes bénéficient de toutes les propriétés
des nombres réels sauf une. On ne peut pas séparer positifs et négatifs comme on le
faisait avec les nombres réels.
Le plan d’Argand-Cauchy On voit clairement que les nombres complexes
sont en dimension 2 si on les représente dans un plan
muni d’un repère. Les nombres complexes – 3 + i et 1 + 2i
peuvent être représentés dans ce que l’on appelle le plan
d’Argand-Cauchy. Cette représentation des nombres complexes tient son nom de Jean-Robert Argand, mathématicien suisse et du français Augustin Cauchy, même si
d’autres qu’eux travaillaient sur une idée similaire à
peu près à la même époque.
Tous les nombres complexes ont un « partenaire » que
l’on appelle « conjugué ». Le conjugué de 1 + 2i est 1 – 2i
qui s’obtient en inversant le signe du coefficient de i. De
la même façon, le conjugué de 1 – 2i est 1 + 2i. Il s’agit
donc d’une véritable union. Le résultat des additions et
des multiplications de nombres conjugués est toujours un
nombre réel. Si l’on ajoute 1 + 2i à 1 – 2i on obtient 2,
et en les multipliant on obtient 5. Cette multiplication
est plus intéressante. Le nombre 5 que l’on obtient est le
carré de la « longueur » ou, en termes mathématiques, du
« module » du nombre complexe 1 + 2i, et ce résultat est
égal au module de son conjugué. En d’autres termes, on
pourrait définir le module d’un nombre complexe ainsi :
module de w = √(w × conjugué de w)
Si on fait le calcul avec – 3 + i en guise de test, on trouve :
module de (– 3 + i) = √(– 3 + i) × (– 3 – i) = √(9 + 1)
et donc le module de – 3 + i est égal à √10.
Si les nombres complexes ne sont plus considérés comme des nombres mystiques, on
le doit surtout à Sir William Rowan Hamilton, le plus grand mathématicien irlandais
- 3 + i
- 3
2
2
0
1
1
1 + 2 i
1 - 2 i (conjugué)
√
–
5
√
–
5
2
1
1
1 + 2 i