Les nombres imaginaires 33
1837
William R. Hamilton utilise
les nombres complexes
comme des couples ordonnés
de nombres réels.
1811
Carl Friedrich Gauss
travaille avec des fonctions
de variables complexes.
1806
Argand représente les nombres
complexes dans un plan appelé
« plan d’Argand-Cauchy ».
Ce raisonnement fut à l’origine de tensions les premières années de l’apparition
des nombres complexes au xvi
e siècle. Ce problème surmonté, les mathématiques
purent ainsi se soustraire aux contraintes qui pèsent sur les nombres ordinaires,
et de vastes domaines d’investigation insoupçonnés jusque là s’ouvrirent alors. Le
développement des nombres complexes a tout simplement permis de créer un système « complet » d’un niveau de perfection jamais atteint avec les nombres réels.
La racine carrée de – 1 Nous avons déjà vu que, si l’on s’en tient à la droite
des nombres réels,
. . .
. . .
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
il n’existe pas de racine carrée de – 1 puisque le carré d’un nombre réel ne peut pas
être négatif. Si l’on persiste à ne considérer que cette droite des réels, autant en
rester là, continuer à les appeler des nombres
imaginaires, aller prendre un café avec les
philosophes, et ne plus nous en occuper. On
pourrait aussi prendre la décision audacieuse
d’accepter √–1 comme une nouvelle entité,
que nous noterons i. Par cette unique opération de l’esprit, les nombres imaginaires
peuvent prendre corps. Ce qu’ils sont est un
mystère, mais nous croyons en leur existence.
Nous savons au moins que i
2 = – 1. Dans notre
nouveau système de nombres, nous retrouvons donc tous ces bons vieux nombres réels
tels que 1, 2, 3, 4, π, e, √2 et √3, auxquels
viennent s’ajouter quelques petits nouveaux
dans lesquels le nombre i apparaît, comme
1 + 2i, –3 + i, 2 + 3i, 1 + i√2, √3 + 2i, e + iπ et
ainsi de suite.
Cette décision cruciale en mathématiques fut prise aux alentours du début du
xix
e siècle, lorsque cette escapade à l’écart de la droite réelle, en dimension 1, nous
a fait pénétrer dans ce nouveau plan étrange des nombres en dimension 2.
Additionner et multiplier Maintenant que nous avons à l’esprit les
nombres complexes, à savoir des nombres de la forme a + ib, que pouvons-nous
en faire ? Tout comme les nombres réels, on peut les additionner et les multiplier
entre eux. L’addition se fait en additionnant leurs deux parties l’une après l’autre.
Par conséquent, 2 + 3i ajouté à 8 + 4i donne (2 + 8) + i(3 + 4), ce qui fait 10 + 7i.
Les ingénieurs
et √–1
Les ingénieurs, qui sont des gens pourtant
très pragmatiques, ont trouvé une utilité aux
nombres complexes. Lorsque Michael Faraday
a découvert le courant alternatif dans les années
1830, les nombres imaginaires ont gagné une
réalité physique. Dans ce domaine, on utilise la
lettre j au lieu de i pour représenter √–1 parce
que i représente le courant électrique.
1837
William R. Hamilton utilise
les nombres complexes
comme des couples ordonnés
de nombres réels.
1811
Carl Friedrich Gauss
travaille avec des fonctions
de variables complexes.
1806
Argand représente les nombres
complexes dans un plan appelé
« plan d’Argand-Cauchy ».
Ce raisonnement fut à l’origine de tensions les premières années de l’apparition
des nombres complexes au xvi
e siècle. Ce problème surmonté, les mathématiques
purent ainsi se soustraire aux contraintes qui pèsent sur les nombres ordinaires,
et de vastes domaines d’investigation insoupçonnés jusque là s’ouvrirent alors. Le
développement des nombres complexes a tout simplement permis de créer un système « complet » d’un niveau de perfection jamais atteint avec les nombres réels.
La racine carrée de – 1 Nous avons déjà vu que, si l’on s’en tient à la droite
des nombres réels,
. . .
. . .
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
il n’existe pas de racine carrée de – 1 puisque le carré d’un nombre réel ne peut pas
être négatif. Si l’on persiste à ne considérer que cette droite des réels, autant en
rester là, continuer à les appeler des nombres
imaginaires, aller prendre un café avec les
philosophes, et ne plus nous en occuper. On
pourrait aussi prendre la décision audacieuse
d’accepter √–1 comme une nouvelle entité,
que nous noterons i. Par cette unique opération de l’esprit, les nombres imaginaires
peuvent prendre corps. Ce qu’ils sont est un
mystère, mais nous croyons en leur existence.
Nous savons au moins que i
2 = – 1. Dans notre
nouveau système de nombres, nous retrouvons donc tous ces bons vieux nombres réels
tels que 1, 2, 3, 4, π, e, √2 et √3, auxquels
viennent s’ajouter quelques petits nouveaux
dans lesquels le nombre i apparaît, comme
1 + 2i, –3 + i, 2 + 3i, 1 + i√2, √3 + 2i, e + iπ et
ainsi de suite.
Cette décision cruciale en mathématiques fut prise aux alentours du début du
xix
e siècle, lorsque cette escapade à l’écart de la droite réelle, en dimension 1, nous
a fait pénétrer dans ce nouveau plan étrange des nombres en dimension 2.
Additionner et multiplier Maintenant que nous avons à l’esprit les
nombres complexes, à savoir des nombres de la forme a + ib, que pouvons-nous
en faire ? Tout comme les nombres réels, on peut les additionner et les multiplier
entre eux. L’addition se fait en additionnant leurs deux parties l’une après l’autre.
Par conséquent, 2 + 3i ajouté à 8 + 4i donne (2 + 8) + i(3 + 4), ce qui fait 10 + 7i.
Les ingénieurs
et √–1
Les ingénieurs, qui sont des gens pourtant
très pragmatiques, ont trouvé une utilité aux
nombres complexes. Lorsque Michael Faraday
a découvert le courant alternatif dans les années
1830, les nombres imaginaires ont gagné une
réalité physique. Dans ce domaine, on utilise la
lettre j au lieu de i pour représenter √–1 parce
que i représente le courant électrique.