50 clés pour comprendre les maths
32
chronologie
1572
Rafael Bombelli utilise des nombres
imaginaires dans ses calculs.
1777
Euler est le premier à utiliser
le symbole i pour représenter
la racine carrée de – 1.
On pense que l’on doit l’appellation « imaginaire » au mathématicien et philosophe René Descartes qui l’a utilisée pour désigner les solutions curieuses de certaines équations, solutions qui n’étaient absolument pas des nombres ordinaires.
Les nombres imaginaires existent-ils oui ou non ? C’est une question que les philosophes ont examinée sous toutes ses faces lorsqu’ils se sont penchés sur le mot
« imaginaire ». Pour les mathématiciens, l’existence de nombres imaginaires n’est
pas un problème. Ils font tout autant partie de notre vie quotidienne que le nombre
5 ou le nombre π. Les nombres imaginaires ne sont peut-être pas d’une grande
utilité pour faire les soldes, mais allez demander à un concepteur d’avions ou à un
ingénieur électricien, vous verrez que ces nombres sont d’une importance capitale.
En ajoutant un nombre réel à un nombre imaginaire, on obtient ce que l’on appelle
un « nombre complexe », ce qui semble tout de suite moins embarrassant d’un
point de vue philosophique. La racine carrée de – 1 est le socle de la théorie des
nombres complexes. Mais alors, quel est ce nombre qui, élevé au carré, donne – 1 ?
Si vous prenez un nombre non nul quelconque et le multipliez par lui-même (vous
l’élevez au carré), vous obtenez toujours un nombre positif. Pas de problème si on
élève des nombres positifs au carré mais qu’en est-il avec des nombres négatifs ?
L’exemple (– 1) × (– 1) peut servir de test. Même si l’on a oublié cette règle des signes
apprise à l’école qui nous dit que « moins par moins, ça fait plus », on peut quand
même se souvenir que la réponse est soit – 1 soit + 1. Si, pour nous, (– 1) × (– 1)
était égal à – 1, nous pourrions alors diviser chaque côté de l’équation par – 1 et en
conclure que – 1 = 1, ce qui est absurde. Nous devons donc en conclure que (– 1) ×
(– 1) = 1, qui est positif. Le même raisonnement peut être tenu pour les nombres
négatifs autres que – 1, et l’on en déduit que tout nombre réel élevé au carré ne peut
jamais donner un résultat négatif.
On peut sans problème imaginer des nombres. J’imagine parfois que je possède
un million d’euros sur mon compte en banque et, une chose est sûre, c’est
« un nombre imaginaire ». Cependant, l’utilisation mathématique de la notion
d’imaginaire n’a rien à voir avec ces rêveries.
Les nombres
imaginaires
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chronologie
1572
Rafael Bombelli utilise des nombres
imaginaires dans ses calculs.
1777
Euler est le premier à utiliser
le symbole i pour représenter
la racine carrée de – 1.
On pense que l’on doit l’appellation « imaginaire » au mathématicien et philosophe René Descartes qui l’a utilisée pour désigner les solutions curieuses de certaines équations, solutions qui n’étaient absolument pas des nombres ordinaires.
Les nombres imaginaires existent-ils oui ou non ? C’est une question que les philosophes ont examinée sous toutes ses faces lorsqu’ils se sont penchés sur le mot
« imaginaire ». Pour les mathématiciens, l’existence de nombres imaginaires n’est
pas un problème. Ils font tout autant partie de notre vie quotidienne que le nombre
5 ou le nombre π. Les nombres imaginaires ne sont peut-être pas d’une grande
utilité pour faire les soldes, mais allez demander à un concepteur d’avions ou à un
ingénieur électricien, vous verrez que ces nombres sont d’une importance capitale.
En ajoutant un nombre réel à un nombre imaginaire, on obtient ce que l’on appelle
un « nombre complexe », ce qui semble tout de suite moins embarrassant d’un
point de vue philosophique. La racine carrée de – 1 est le socle de la théorie des
nombres complexes. Mais alors, quel est ce nombre qui, élevé au carré, donne – 1 ?
Si vous prenez un nombre non nul quelconque et le multipliez par lui-même (vous
l’élevez au carré), vous obtenez toujours un nombre positif. Pas de problème si on
élève des nombres positifs au carré mais qu’en est-il avec des nombres négatifs ?
L’exemple (– 1) × (– 1) peut servir de test. Même si l’on a oublié cette règle des signes
apprise à l’école qui nous dit que « moins par moins, ça fait plus », on peut quand
même se souvenir que la réponse est soit – 1 soit + 1. Si, pour nous, (– 1) × (– 1)
était égal à – 1, nous pourrions alors diviser chaque côté de l’équation par – 1 et en
conclure que – 1 = 1, ce qui est absurde. Nous devons donc en conclure que (– 1) ×
(– 1) = 1, qui est positif. Le même raisonnement peut être tenu pour les nombres
négatifs autres que – 1, et l’on en déduit que tout nombre réel élevé au carré ne peut
jamais donner un résultat négatif.
On peut sans problème imaginer des nombres. J’imagine parfois que je possède
un million d’euros sur mon compte en banque et, une chose est sûre, c’est
« un nombre imaginaire ». Cependant, l’utilisation mathématique de la notion
d’imaginaire n’a rien à voir avec ces rêveries.
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imaginaires
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