L’infini 31
. . .
. . .
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
– √5
3
/2
π
e
√2
Une fois les vides comblés, on appelle l’ensemble R le « continuum ». Comment s’y
prendre pour dresser une liste des nombres réels ? Dans un élan de pur génie, Cantor
a montré que vouloir seulement énumérer les nombres réels compris entre 0 et 1
était une tentative vouée à l’échec. Cette nouvelle stupéfiante pour tous ceux que
la constitution de listes passionne pourrait bien les amener à se demander pourquoi
il est impossible de noter les uns après les autres les nombres réels d’un ensemble.
On suppose que vous ne croyez pas Cantor. Vous savez que chaque nombre entre
0 et 1 peut être exprimé sous la forme d’un développement décimal, comme par
exemple
1 /2 = 0,500 000 000 000 000 000… et 1 / π = 0,318 309 886 183 790 671 53…
Il vous faudrait donc dire à Cantor : « Voici ma liste de tous les nombres compris
entre 0 et 1 », nombres que nous appellerons r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , r 5 , … Si vous n’êtes pas en
mesure de produire une telle liste, alors vous donnerez raison à Cantor.
Imaginez que Cantor regarde votre liste et note en gras les nombres placés sur la
diagonale :
r 1 : 0, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 …
r 2 : 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 …
r 3 : 0, c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 …
r 4 : 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …
Cantor dirait sûrement, « d’accord, mais où est le nombre x = 0,x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 … dont la
première décimale x 1 est distincte de a 1 , la seconde de b 2 , la troisième de c 3 et ainsi
de suite en suivant la diagonale ? ». Ce nombre x ainsi construit diffère de tous les
nombres de votre liste au niveau d’une décimale, et c’est pourquoi il ne peut pas
figurer dans votre liste. Cantor a raison.
En fait, une énumération de l’ensemble des nombres réels de R est impossible.
L’ensemble R est donc pourvu d’un infini « plus grand » que celui de Q. Grand est
simplement devenu plus grand.
l’idée clé
Une pluie d’infinités
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– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
– √5
3
/2
π
e
√2
Une fois les vides comblés, on appelle l’ensemble R le « continuum ». Comment s’y
prendre pour dresser une liste des nombres réels ? Dans un élan de pur génie, Cantor
a montré que vouloir seulement énumérer les nombres réels compris entre 0 et 1
était une tentative vouée à l’échec. Cette nouvelle stupéfiante pour tous ceux que
la constitution de listes passionne pourrait bien les amener à se demander pourquoi
il est impossible de noter les uns après les autres les nombres réels d’un ensemble.
On suppose que vous ne croyez pas Cantor. Vous savez que chaque nombre entre
0 et 1 peut être exprimé sous la forme d’un développement décimal, comme par
exemple
1 /2 = 0,500 000 000 000 000 000… et 1 / π = 0,318 309 886 183 790 671 53…
Il vous faudrait donc dire à Cantor : « Voici ma liste de tous les nombres compris
entre 0 et 1 », nombres que nous appellerons r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , r 5 , … Si vous n’êtes pas en
mesure de produire une telle liste, alors vous donnerez raison à Cantor.
Imaginez que Cantor regarde votre liste et note en gras les nombres placés sur la
diagonale :
r 1 : 0, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 …
r 2 : 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 …
r 3 : 0, c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 …
r 4 : 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …
Cantor dirait sûrement, « d’accord, mais où est le nombre x = 0,x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 … dont la
première décimale x 1 est distincte de a 1 , la seconde de b 2 , la troisième de c 3 et ainsi
de suite en suivant la diagonale ? ». Ce nombre x ainsi construit diffère de tous les
nombres de votre liste au niveau d’une décimale, et c’est pourquoi il ne peut pas
figurer dans votre liste. Cantor a raison.
En fait, une énumération de l’ensemble des nombres réels de R est impossible.
L’ensemble R est donc pourvu d’un infini « plus grand » que celui de Q. Grand est
simplement devenu plus grand.
l’idée clé
Une pluie d’infinités