50 clés pour comprendre les maths
30
Tout ensemble qui peut être mis en bijection avec N s’appelle un ensemble
« infini dénombrable». Dire qu’un ensemble est infini dénombrable signifie que l’on
peut dresser la liste des éléments de l’ensemble. Par exemple, la liste des nombres
impairs est simplement 1, 3, 5, 7, 9, … et nous savons quel élément est le premier,
lequel est le deuxième, et ainsi de suite.
L’ensemble des fractions est-il infini dénombrable ? L’ensemble
des fractions Q est un ensemble plus grand que N au sens où N peut être considéré
comme un sous-ensemble de Q. Pouvons-nous établir la liste de tous les éléments
de Q ? Pouvons-nous imaginer une liste où toutes les fractions (y compris les fractions négatives) figureraient quelque part ? L’idée qu’un ensemble si grand puisse
être mis en bijection avec N semble impossible. On peut néanmoins y parvenir.
On commence avec une bijection. Au départ, on écrit
sur une même ligne tous les nombres entiers, positifs
et négatifs, en alternance. En dessous, on écrit toutes
les fractions dont le dénominateur est égal à 2 mais on
laisse de côté celles qui apparaissent déjà dans la rangée
du dessus (comme 6/2 = 3). En dessous encore, on écrit
les fractions dont le dénominateur est égal à 3, et on
laisse encore une fois de côté toutes celles qui ont déjà
été notées. On poursuit cette besogne sans fin, mais au
moins, on sait où apparaît chaque fraction dans le diagramme. Par exemple, 209/67 est dans la 67
e rangée,
environ 200 places à la droite de 1/67.
En disposant toutes les fractions de cette
manière, potentiellement au moins, on
peut construire une liste de dimension
1. Si on part de la rangée du haut et que
l’on se déplace vers la droite, on ne peut
jamais atteindre la deuxième rangée.
Toutefois, on peut y parvenir en suivant
un tracé en zigzag. On trouve la liste promise en suivant les flèches à partir de 1 :
1, –1, 1 /2, 1 /3,– 1 /2, 2, –2…
Chaque fraction, qu’elle soit positive ou négative, se trouve quelque part dans la liste
et, réciproquement, sa position nous donne sa « partenaire » dans la liste de fractions.
On peut donc conclure que l’ensemble de fractions Q est infini dénombrable et s’écrit
Card(Q) = ℵ 0 .
Dresser la liste des nombres réels Alors que l’ensemble des fractions
totalise un grand nombre d’éléments qui viennent occuper la droite réelle, il existe
aussi des nombres réels tels que √2, e et π qui ne sont pas des fractions. Ce sont les
nombres irrationnels : ils « comblent les vides » pour nous donner la droite réelle R.
1 -1 2 -2 3 -3 4 . . .
1
2
-1
2
3
2
-3
2
5
2
-5
2
7 . . .
2
1
3
-1
3
2
3
-2
3
4
3
-4
3
5 . . .
3
1
4
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4
5
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-5
4
7 . . .
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1
5
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5
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4 . . .
5
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. .
1
2
7
16
3
6
15
25
5
8
14 17 24
4
9
13
18
2
10
12
19
22
11
20
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Tout ensemble qui peut être mis en bijection avec N s’appelle un ensemble
« infini dénombrable». Dire qu’un ensemble est infini dénombrable signifie que l’on
peut dresser la liste des éléments de l’ensemble. Par exemple, la liste des nombres
impairs est simplement 1, 3, 5, 7, 9, … et nous savons quel élément est le premier,
lequel est le deuxième, et ainsi de suite.
L’ensemble des fractions est-il infini dénombrable ? L’ensemble
des fractions Q est un ensemble plus grand que N au sens où N peut être considéré
comme un sous-ensemble de Q. Pouvons-nous établir la liste de tous les éléments
de Q ? Pouvons-nous imaginer une liste où toutes les fractions (y compris les fractions négatives) figureraient quelque part ? L’idée qu’un ensemble si grand puisse
être mis en bijection avec N semble impossible. On peut néanmoins y parvenir.
On commence avec une bijection. Au départ, on écrit
sur une même ligne tous les nombres entiers, positifs
et négatifs, en alternance. En dessous, on écrit toutes
les fractions dont le dénominateur est égal à 2 mais on
laisse de côté celles qui apparaissent déjà dans la rangée
du dessus (comme 6/2 = 3). En dessous encore, on écrit
les fractions dont le dénominateur est égal à 3, et on
laisse encore une fois de côté toutes celles qui ont déjà
été notées. On poursuit cette besogne sans fin, mais au
moins, on sait où apparaît chaque fraction dans le diagramme. Par exemple, 209/67 est dans la 67
e rangée,
environ 200 places à la droite de 1/67.
En disposant toutes les fractions de cette
manière, potentiellement au moins, on
peut construire une liste de dimension
1. Si on part de la rangée du haut et que
l’on se déplace vers la droite, on ne peut
jamais atteindre la deuxième rangée.
Toutefois, on peut y parvenir en suivant
un tracé en zigzag. On trouve la liste promise en suivant les flèches à partir de 1 :
1, –1, 1 /2, 1 /3,– 1 /2, 2, –2…
Chaque fraction, qu’elle soit positive ou négative, se trouve quelque part dans la liste
et, réciproquement, sa position nous donne sa « partenaire » dans la liste de fractions.
On peut donc conclure que l’ensemble de fractions Q est infini dénombrable et s’écrit
Card(Q) = ℵ 0 .
Dresser la liste des nombres réels Alors que l’ensemble des fractions
totalise un grand nombre d’éléments qui viennent occuper la droite réelle, il existe
aussi des nombres réels tels que √2, e et π qui ne sont pas des fractions. Ce sont les
nombres irrationnels : ils « comblent les vides » pour nous donner la droite réelle R.
1 -1 2 -2 3 -3 4 . . .
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