L’infini 29
1655
On attribue à John Wallis
la première utilisation
du symbole du « nœud
d’amour » noté ∞ pour
désigner l’infini.
1874
Cantor applique
un raisonnement rigoureux
pour traiter le concept
d’infini, et met en évidence
différents types d’infini.
Dans les années 1960
Abraham Robinson développe
un modèle arithmétique non
standard qui repose sur une théorie
du calcul infinitésimal.
serait certainement « oui, absolument ». Mais sur quoi repose cette certitude ?
Probablement sur une idée du genre « la moitié de tous les nombres sont impairs et
la moitié sont pairs ». Cantor serait d’accord avec nous mais son explication serait
différente. Il dirait que tout nombre impair est suivi d’un « partenaire » pair. L’idée
que les deux ensembles I et P ont le même nombre d’éléments repose sur l’idée que
tout nombre impair peut être associé à un nombre pair :
I : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
• • • • • • • • • • •
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
• • • • • • • • • • •
P : 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
À cette autre question : « Y a-t-il le même nombre de nombres entiers que de
nombres pairs ? » la réponse serait peut-être « non », l’argument étant que l’ensemble N contient deux fois plus de nombres que celui des nombres pairs.
La notion de « plus », cependant, est plutôt floue lorsqu’il s’agit d’ensembles qui
contiennent un nombre infini d’éléments. Nous pourrions mieux faire en utilisant
l’idée d’une correspondance bijective. Et bizarrement, il y a une bijection entre N
et l’ensemble des nombres pairs P :
N : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
• • • • • • • • • • • •
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
• • • • • • • • • • • •
P : 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Nous arrivons à cette conclusion stupéfiante qu’il y a le « même nombre » de
nombres entiers que de nombres pairs ! C’est un défi à la « notion commune » formulée par les Grecs de l’Antiquité : Euclide d’Alexandrie, au début de ses Éléments,
dit que « le tout est plus grand que la partie ».
Cardinal Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E s’appelle le « cardinal »
de E. Par exemple, le cardinal de l’ensemble des moutons du fermier est égal à
42. Le cardinal de l’ensemble {a, b, c, d, e} est égal à 5 et se note Card {a, b, c, d, e}
= 5. Le cardinal est donc la mesure de la « taille » d’un ensemble. Pour exprimer
le cardinal de l’ensemble N, et de tout ensemble dont les éléments sont en correspondance bijective avec ceux de N, Cantor utilisait le symbole ℵ 0 (ℵ ou « aleph »,
symbole qui appartient à l’alphabet hébreux ; le symbole ℵ 0 se lit « aleph zéro »). Et
en langage mathématique, on peut donc écrire Card(N) = Card(I) = Card(P) = ℵ 0 .
1655
On attribue à John Wallis
la première utilisation
du symbole du « nœud
d’amour » noté ∞ pour
désigner l’infini.
1874
Cantor applique
un raisonnement rigoureux
pour traiter le concept
d’infini, et met en évidence
différents types d’infini.
Dans les années 1960
Abraham Robinson développe
un modèle arithmétique non
standard qui repose sur une théorie
du calcul infinitésimal.
serait certainement « oui, absolument ». Mais sur quoi repose cette certitude ?
Probablement sur une idée du genre « la moitié de tous les nombres sont impairs et
la moitié sont pairs ». Cantor serait d’accord avec nous mais son explication serait
différente. Il dirait que tout nombre impair est suivi d’un « partenaire » pair. L’idée
que les deux ensembles I et P ont le même nombre d’éléments repose sur l’idée que
tout nombre impair peut être associé à un nombre pair :
I : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
• • • • • • • • • • •
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
• • • • • • • • • • •
P : 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
À cette autre question : « Y a-t-il le même nombre de nombres entiers que de
nombres pairs ? » la réponse serait peut-être « non », l’argument étant que l’ensemble N contient deux fois plus de nombres que celui des nombres pairs.
La notion de « plus », cependant, est plutôt floue lorsqu’il s’agit d’ensembles qui
contiennent un nombre infini d’éléments. Nous pourrions mieux faire en utilisant
l’idée d’une correspondance bijective. Et bizarrement, il y a une bijection entre N
et l’ensemble des nombres pairs P :
N : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
• • • • • • • • • • • •
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
• • • • • • • • • • • •
P : 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Nous arrivons à cette conclusion stupéfiante qu’il y a le « même nombre » de
nombres entiers que de nombres pairs ! C’est un défi à la « notion commune » formulée par les Grecs de l’Antiquité : Euclide d’Alexandrie, au début de ses Éléments,
dit que « le tout est plus grand que la partie ».
Cardinal Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E s’appelle le « cardinal »
de E. Par exemple, le cardinal de l’ensemble des moutons du fermier est égal à
42. Le cardinal de l’ensemble {a, b, c, d, e} est égal à 5 et se note Card {a, b, c, d, e}
= 5. Le cardinal est donc la mesure de la « taille » d’un ensemble. Pour exprimer
le cardinal de l’ensemble N, et de tout ensemble dont les éléments sont en correspondance bijective avec ceux de N, Cantor utilisait le symbole ℵ 0 (ℵ ou « aleph »,
symbole qui appartient à l’alphabet hébreux ; le symbole ℵ 0 se lit « aleph zéro »). Et
en langage mathématique, on peut donc écrire Card(N) = Card(I) = Card(P) = ℵ 0 .