50 clés pour comprendre les maths
28
chronologie
350 av. J.-C.
Aristote rejette l’idée d’un infini
réel.
1639 ap. J.-C.
Girard Desargues introduit le
concept d’infini en géométrie.
C’est ainsi que l’on se représente habituellement l’infini, avec des nombres qui
augmentent sans cesse. Les mathématiques utilisent l’infini dans tous les domaines,
mais il faut faire attention lorsque l’on traite l’infini comme un nombre ordinaire.
Ce n’en est pas un.
Compter Le mathématicien allemand Georg Cantor nous a légué un concept
de l’infini entièrement nouveau. Ce faisant, il a créé à lui seul une théorie qui a
influencé une grande partie des mathématiques modernes. L’idée sur laquelle repose
la théorie de Cantor est liée à une technique rudimentaire utilisée pour compter,
plus simple encore que celle que l’on utilise dans nos activités quotidiennes.
Imaginez un fermier qui ne sait pas compter avec des nombres. Comment pourraitil savoir combien il possède de moutons ? C’est simple : quand il les fait sortir le
matin, il peut savoir s’ils sont tous de retour le soir s’il associe à chaque mouton
une pierre prise dans un tas placé à l’entrée de son champ. S’il manque un mouton,
il restera une pierre. Sans même utiliser de nombre, notre fermier a vraiment le
sens des mathématiques. Il utilise l’idée d’une correspondance bijective entre les
moutons et les pierres. Cette idée de base a eu quelques conséquences surprenantes.
La théorie de Cantor fait appel à des ensembles (un ensemble est une collection
d’objets). Par exemple, N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…} désigne l’ensemble de tous
les entiers naturels. Une fois qu’un ensemble est défini, on peut parler de sousensembles, c’est-à-dire d’ensembles contenus dans le premier. Les sous-ensembles
les plus évidents associés à notre exemple N sont les sous-ensembles I = {1, 3, 5,
7…} et P = {0, 2, 4, 6, 8…}, qui sont respectivement les ensembles des nombres
impairs et des nombres pairs. À la question : « Y a-t-il autant de nombres impairs
que de nombres pairs ? », quelle serait notre réponse ? Impossible de compter
les éléments de chaque ensemble et de les comparer, et pourtant, notre réponse
Quelle est la taille de l’infini ? Pour faire court, on dit que ∞ (le symbole pour
représenter l’infini) est très grand. Pensez à une droite sur laquelle se succèdent
des nombres de plus en plus grands et ce « jusqu’à l’infini ». Chaque nombre
très grand, comme 10
1 000
, est toujours suivi d’un nombre encore plus grand,
par exemple 10
1 000 + 1.
L’infini
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chronologie
350 av. J.-C.
Aristote rejette l’idée d’un infini
réel.
1639 ap. J.-C.
Girard Desargues introduit le
concept d’infini en géométrie.
C’est ainsi que l’on se représente habituellement l’infini, avec des nombres qui
augmentent sans cesse. Les mathématiques utilisent l’infini dans tous les domaines,
mais il faut faire attention lorsque l’on traite l’infini comme un nombre ordinaire.
Ce n’en est pas un.
Compter Le mathématicien allemand Georg Cantor nous a légué un concept
de l’infini entièrement nouveau. Ce faisant, il a créé à lui seul une théorie qui a
influencé une grande partie des mathématiques modernes. L’idée sur laquelle repose
la théorie de Cantor est liée à une technique rudimentaire utilisée pour compter,
plus simple encore que celle que l’on utilise dans nos activités quotidiennes.
Imaginez un fermier qui ne sait pas compter avec des nombres. Comment pourraitil savoir combien il possède de moutons ? C’est simple : quand il les fait sortir le
matin, il peut savoir s’ils sont tous de retour le soir s’il associe à chaque mouton
une pierre prise dans un tas placé à l’entrée de son champ. S’il manque un mouton,
il restera une pierre. Sans même utiliser de nombre, notre fermier a vraiment le
sens des mathématiques. Il utilise l’idée d’une correspondance bijective entre les
moutons et les pierres. Cette idée de base a eu quelques conséquences surprenantes.
La théorie de Cantor fait appel à des ensembles (un ensemble est une collection
d’objets). Par exemple, N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…} désigne l’ensemble de tous
les entiers naturels. Une fois qu’un ensemble est défini, on peut parler de sousensembles, c’est-à-dire d’ensembles contenus dans le premier. Les sous-ensembles
les plus évidents associés à notre exemple N sont les sous-ensembles I = {1, 3, 5,
7…} et P = {0, 2, 4, 6, 8…}, qui sont respectivement les ensembles des nombres
impairs et des nombres pairs. À la question : « Y a-t-il autant de nombres impairs
que de nombres pairs ? », quelle serait notre réponse ? Impossible de compter
les éléments de chaque ensemble et de les comparer, et pourtant, notre réponse
Quelle est la taille de l’infini ? Pour faire court, on dit que ∞ (le symbole pour
représenter l’infini) est très grand. Pensez à une droite sur laquelle se succèdent
des nombres de plus en plus grands et ce « jusqu’à l’infini ». Chaque nombre
très grand, comme 10
1 000
, est toujours suivi d’un nombre encore plus grand,
par exemple 10
1 000 + 1.
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