50 clés pour comprendre les maths
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La notation factorielle qui utilise le point d’exclamation est ici commode. On peut
écrire, par exemple, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. En utilisant cette notation, e s’écrit sous la
forme plus connue :
1 1 1 1 1
1
. ..
1! 2! 3! 4! 5!
e = + + + + + +
Le nombre e semble donc bien avoir une structure. Il paraît plus « symétrique » que
π au niveau de ses propriétés mathématiques.
Si vous voulez une technique pour mémoriser les premières décimales de e, essayez
ceci : « We attempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count… »,
où le nombre de lettres de chaque mot donne une décimale de e. Si vous avez
quelques notions d’histoire américaine, vous pouvez vous souvenir que e, c’est « 2,7
Andrew Jackson Andrew Jackson », parce que Andrew Jackson (surnommé « Old
Hickory »), le septième président des États-Unis, a été élu en 1828. Il existe bien
d’autres techniques pour se souvenir de e, mais leur intérêt réside davantage dans
leur bizarrerie que dans leur valeur mathématique.
Le fait que e est irrationnel (il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction) a été
prouvé par Leonhard Euler en 1737. En 1840, le mathématicien français Joseph
Louisville a démontré que e n’était la solution d’aucune équation de degré deux à
coefficients entiers, et en 1873, par un travail novateur, son compatriote Charles
Hermite a prouvé la transcendance de e (il n’est la solution d’aucune équation algébrique à coefficients entiers). La méthode, plus que le résultat, était cruciale. Neuf
ans plus tard, Ferdinand von Lindemann utilisa cette même méthode pour prouver
que π était transcendant, ce qui avait plus de cachet.
On avait résolu un problème mais d’autres surgirent. Si on élève e à la puissance
e, est-il transcendant ? Quelle question bizarre, comment pourrait-il en être autrement ? Personne cependant n’en a apporté une preuve rigoureuse et, si l’on s’en
tient à des critères mathématiques purs, cette question reste une conjecture. Certains
mathématiciens ont fait de petites avancées en démontrant qu’il est impossible que
e et e
e2 soient tous les deux transcendants. Bien joué, mais ce n’est pas encore ça.
Les liens entre π et e sont fascinants. Les valeurs de e
π et π
e sont proches mais on
montre facilement (sans calculer leurs valeurs) que e
π > π
e . Si vous « trichez » et
jetez un œil sur votre calculatrice, vous verrez qu’elle donne les valeurs approchées
suivantes : e
π = 23,14069 et π
e = 22,45916.
Le nombre e
π est connu sous le nom de constante de Gelfond (d’après le nom du
mathématicien russe Aleksandr Gelfond) et sa transcendance a été montrée. On en
sait beaucoup moins sur π
e . Personne n’a encore prouvé qu’il était irrationnel, mais
l’est-il vraiment ?
e est-il important ? On rencontre principalement e dans les problèmes de
croissance. On pense par exemple à la croissance économique et à la croissance des
populations. On trouve également e dans certaines fonctions exponentielles qui
modélisent la désintégration radioactive.
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La notation factorielle qui utilise le point d’exclamation est ici commode. On peut
écrire, par exemple, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. En utilisant cette notation, e s’écrit sous la
forme plus connue :
1 1 1 1 1
1
. ..
1! 2! 3! 4! 5!
e = + + + + + +
Le nombre e semble donc bien avoir une structure. Il paraît plus « symétrique » que
π au niveau de ses propriétés mathématiques.
Si vous voulez une technique pour mémoriser les premières décimales de e, essayez
ceci : « We attempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count… »,
où le nombre de lettres de chaque mot donne une décimale de e. Si vous avez
quelques notions d’histoire américaine, vous pouvez vous souvenir que e, c’est « 2,7
Andrew Jackson Andrew Jackson », parce que Andrew Jackson (surnommé « Old
Hickory »), le septième président des États-Unis, a été élu en 1828. Il existe bien
d’autres techniques pour se souvenir de e, mais leur intérêt réside davantage dans
leur bizarrerie que dans leur valeur mathématique.
Le fait que e est irrationnel (il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction) a été
prouvé par Leonhard Euler en 1737. En 1840, le mathématicien français Joseph
Louisville a démontré que e n’était la solution d’aucune équation de degré deux à
coefficients entiers, et en 1873, par un travail novateur, son compatriote Charles
Hermite a prouvé la transcendance de e (il n’est la solution d’aucune équation algébrique à coefficients entiers). La méthode, plus que le résultat, était cruciale. Neuf
ans plus tard, Ferdinand von Lindemann utilisa cette même méthode pour prouver
que π était transcendant, ce qui avait plus de cachet.
On avait résolu un problème mais d’autres surgirent. Si on élève e à la puissance
e, est-il transcendant ? Quelle question bizarre, comment pourrait-il en être autrement ? Personne cependant n’en a apporté une preuve rigoureuse et, si l’on s’en
tient à des critères mathématiques purs, cette question reste une conjecture. Certains
mathématiciens ont fait de petites avancées en démontrant qu’il est impossible que
e et e
e2 soient tous les deux transcendants. Bien joué, mais ce n’est pas encore ça.
Les liens entre π et e sont fascinants. Les valeurs de e
π et π
e sont proches mais on
montre facilement (sans calculer leurs valeurs) que e
π > π
e . Si vous « trichez » et
jetez un œil sur votre calculatrice, vous verrez qu’elle donne les valeurs approchées
suivantes : e
π = 23,14069 et π
e = 22,45916.
Le nombre e
π est connu sous le nom de constante de Gelfond (d’après le nom du
mathématicien russe Aleksandr Gelfond) et sa transcendance a été montrée. On en
sait beaucoup moins sur π
e . Personne n’a encore prouvé qu’il était irrationnel, mais
l’est-il vraiment ?
e est-il important ? On rencontre principalement e dans les problèmes de
croissance. On pense par exemple à la croissance économique et à la croissance des
populations. On trouve également e dans certaines fonctions exponentielles qui
modélisent la désintégration radioactive.