50 clés pour comprendre les maths
22
Srinivasa Ramanujan, autodidacte de génie, est à l’origine de formules spectaculaires
qui convergent vers π. En voici une qui repose uniquement sur la racine carrée de 2 :
9801 2 3,1415927300133056603139961890…
4412
=
Les mathématiciens sont fascinés par π. Alors que Lambert avait prouvé qu’il ne
pouvait pas être un nombre rationnel, le mathématicien allemand Ferdinand von
Lindemann a trouvé en 1882 la solution au problème le plus coriace concernant
π. Il a prouvé que π était « transcendant », c’est-à-dire qu’il ne pouvait être solution d’aucune équation algébrique à coefficients entiers (une équation avec des
puissances entières de x uniquement). En trouvant la clé de cette « énigme ancestrale», Lindemann a résolu le problème de la « quadrature du cercle ». Étant donné
un cercle, le défi était de construire un carré d’une aire identique à la règle et au
compas seulement. Lindemann a définitivement prouvé que c’était impossible. De
nos jours, l’expression « c’est la quadrature du cercle » est devenue synonyme d’une
impossibilité.
Le calcul de la valeur de π a rapidement progressé. En 1873, William Shanks a déterminé la valeur exacte des 707 premières décimales de π (elles sont en fait correctes
jusqu’à la 527
e décimale). Au xx
e siècle, la quête pour calculer le plus grand nombre
de décimales de π s’est accélérée grâce à l’ordinateur. En 1949, on est allé jusqu’à
2 037 décimales de π, ce qui nécessita 70 heures de travail sur un ordinateur ENIAC.
Dès 2002, on a atteint le nombre stupéfiant de 1 241 100 000 000 décimales, mais ce
n’est sûrement pas fini. Si nous étions au niveau de l’équateur, et si nous voulions
recopier le développement décimal de π, le calcul de Shanks s’étalerait sur 14 mètres
mais le résultat obtenu en 2002 nous ferait faire 62 tours du monde !
On s’est posé de nombreuses questions sur π qui ont pour beaucoup reçu une
réponse. Les décimales de π sont-elles aléatoires ? Est-il possible de trouver une
suite donnée dans le développement décimal de π ? Par exemple, est-il possible de
trouver la suite 0123456789 ? Dans les années 1950, on croyait que cela appartenait au domaine de l’inconnaissable. Personne n’avait trouvé une telle suite dans
les 2 000 premières décimales de π. L.E.J. Brouwer, mathématicien hollandais de
renom, affirma même que ce genre de problème était dénué de sens car il était selon
lui empiriquement impossible à vérifier. En fait, une suite de chiffres fut trouvée
en 1997 au niveau de la 17 387 594 880
e décimale, ou, pour utiliser la métaphore
de l’équateur, environ 5 000 kilomètres avant la fin d’un tour du monde complet.
Vous trouverez le chiffre 6 dix fois de suite avant d’avoir fait 1 000 kilomètres mais il
vous faudra attendre la fin d’un tour complet et parcourir encore presque 6 000 kilomètres avant de trouver le chiffre 7 dix fois de suite.
L’importance de π À quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de π ?
Après tout, la plupart des calculs impliquant π ne nécessitent que quelques décimales ; il n’en faut probablement pas plus de dix quelle que soit l’application pratique concernée, et l’approximation d’Archimède de 22/7 est la plupart du temps
suffisante. Toutefois, les calculs du développement décimal de π ne sont pas
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Srinivasa Ramanujan, autodidacte de génie, est à l’origine de formules spectaculaires
qui convergent vers π. En voici une qui repose uniquement sur la racine carrée de 2 :
9801 2 3,1415927300133056603139961890…
4412
=
Les mathématiciens sont fascinés par π. Alors que Lambert avait prouvé qu’il ne
pouvait pas être un nombre rationnel, le mathématicien allemand Ferdinand von
Lindemann a trouvé en 1882 la solution au problème le plus coriace concernant
π. Il a prouvé que π était « transcendant », c’est-à-dire qu’il ne pouvait être solution d’aucune équation algébrique à coefficients entiers (une équation avec des
puissances entières de x uniquement). En trouvant la clé de cette « énigme ancestrale», Lindemann a résolu le problème de la « quadrature du cercle ». Étant donné
un cercle, le défi était de construire un carré d’une aire identique à la règle et au
compas seulement. Lindemann a définitivement prouvé que c’était impossible. De
nos jours, l’expression « c’est la quadrature du cercle » est devenue synonyme d’une
impossibilité.
Le calcul de la valeur de π a rapidement progressé. En 1873, William Shanks a déterminé la valeur exacte des 707 premières décimales de π (elles sont en fait correctes
jusqu’à la 527
e décimale). Au xx
e siècle, la quête pour calculer le plus grand nombre
de décimales de π s’est accélérée grâce à l’ordinateur. En 1949, on est allé jusqu’à
2 037 décimales de π, ce qui nécessita 70 heures de travail sur un ordinateur ENIAC.
Dès 2002, on a atteint le nombre stupéfiant de 1 241 100 000 000 décimales, mais ce
n’est sûrement pas fini. Si nous étions au niveau de l’équateur, et si nous voulions
recopier le développement décimal de π, le calcul de Shanks s’étalerait sur 14 mètres
mais le résultat obtenu en 2002 nous ferait faire 62 tours du monde !
On s’est posé de nombreuses questions sur π qui ont pour beaucoup reçu une
réponse. Les décimales de π sont-elles aléatoires ? Est-il possible de trouver une
suite donnée dans le développement décimal de π ? Par exemple, est-il possible de
trouver la suite 0123456789 ? Dans les années 1950, on croyait que cela appartenait au domaine de l’inconnaissable. Personne n’avait trouvé une telle suite dans
les 2 000 premières décimales de π. L.E.J. Brouwer, mathématicien hollandais de
renom, affirma même que ce genre de problème était dénué de sens car il était selon
lui empiriquement impossible à vérifier. En fait, une suite de chiffres fut trouvée
en 1997 au niveau de la 17 387 594 880
e décimale, ou, pour utiliser la métaphore
de l’équateur, environ 5 000 kilomètres avant la fin d’un tour du monde complet.
Vous trouverez le chiffre 6 dix fois de suite avant d’avoir fait 1 000 kilomètres mais il
vous faudra attendre la fin d’un tour complet et parcourir encore presque 6 000 kilomètres avant de trouver le chiffre 7 dix fois de suite.
L’importance de π À quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de π ?
Après tout, la plupart des calculs impliquant π ne nécessitent que quelques décimales ; il n’en faut probablement pas plus de dix quelle que soit l’application pratique concernée, et l’approximation d’Archimède de 22/7 est la plupart du temps
suffisante. Toutefois, les calculs du développement décimal de π ne sont pas