π 21
1706 ap. J.-C.
William Jones introduit
le symbole π.
1761
Lambert prouve
l’irrationalité de π.
1882
Lindemann prouve
la transcendance de π.
Puisque π est défini comme le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle,
quel est le lien entre π et l’aire d’un cercle ? Par déduction, on sait que l’aire
d’un cercle de rayon r est πr
2
, mais on connaît probablement moins
bien la définition de π comme rapport entre la circonférence et le
diamètre d’un cercle. La double fonction de π, qui sert à la fois
pour calculer l’aire et la circonférence, est remarquable.
Comment le démontrer ? Le cercle peut être divisé en plusieurs
triangles égaux de base b et dont la hauteur est à peu près égale
au rayon r. Ils constituent un polygone à l’intérieur du cercle
qui correspond approximativement à l’aire du cercle. Prenons
1 000 triangles pour commencer. Il s’agit en fait d’un exercice
d’approximations. On peut réunir chaque paire adjacente de ces
triangles pour former un rectangle (à quelque chose près) d’aire b ×
r de sorte que l’aire totale du polygone sera de 500 × b × r. Comme 500
× b correspond à peu près à la moitié de la circonférence, il a pour longueur
πr, et donc l’aire du polygone est πr × r = πr
2
. Plus il y a de triangles, meilleure est
l’approximation et, en tendant vers l’infini, on en déduit que l’aire du cercle est πr
2
.
Archimède estimait que la valeur de π était comprise entre 223 /71 et 220 /70. C’est
donc à lui que l’on doit l’approximation bien connue 22 /7 pour la valeur de π.
L’honneur du choix du symbole π revient à William Jones, mathématicien gallois
peu connu qui a occupé le poste de vice-président de la Royal Society de Londres
au xviii
e siècle. C’est grâce au mathématicien et physicien Leonhard Euler que fut
généralisé l’emploi du symbole π pour désigner le rapport de la circonférence au
diamètre d’un cercle.
La valeur exacte de π Il est absolument impossible de connaître la valeur
exacte de π car c’est un nombre irrationnel. C’est ce que Johann Lambert a démontré
en 1768. Son développement décimal est infini et imprévisible. Les 20 premières
décimales sont 3,14159265358979323846… La valeur √10 utilisée par les mathématiciens chinois et adoptée aux alentours de 500 par Brahmagupta est égale à
3,16227766016837933199. Cette valeur est un peu meilleure que la valeur grossière
3 et diffère de celle de π au niveau de la seconde décimale.
On peut calculer π à partir d’une série de nombres. On connaît la série
1 1 1 1 1
1
4
3 5 7 9 11
= − + − + − +…
dont la convergence sur π est affreusement lente cependant et épouvantable à calculer. Euler a découvert une série tout à fait remarquable qui converge vers π :
2
2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
1
6
2 3 4 5 6
= + + + + + +…
1706 ap. J.-C.
William Jones introduit
le symbole π.
1761
Lambert prouve
l’irrationalité de π.
1882
Lindemann prouve
la transcendance de π.
Puisque π est défini comme le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle,
quel est le lien entre π et l’aire d’un cercle ? Par déduction, on sait que l’aire
d’un cercle de rayon r est πr
2
, mais on connaît probablement moins
bien la définition de π comme rapport entre la circonférence et le
diamètre d’un cercle. La double fonction de π, qui sert à la fois
pour calculer l’aire et la circonférence, est remarquable.
Comment le démontrer ? Le cercle peut être divisé en plusieurs
triangles égaux de base b et dont la hauteur est à peu près égale
au rayon r. Ils constituent un polygone à l’intérieur du cercle
qui correspond approximativement à l’aire du cercle. Prenons
1 000 triangles pour commencer. Il s’agit en fait d’un exercice
d’approximations. On peut réunir chaque paire adjacente de ces
triangles pour former un rectangle (à quelque chose près) d’aire b ×
r de sorte que l’aire totale du polygone sera de 500 × b × r. Comme 500
× b correspond à peu près à la moitié de la circonférence, il a pour longueur
πr, et donc l’aire du polygone est πr × r = πr
2
. Plus il y a de triangles, meilleure est
l’approximation et, en tendant vers l’infini, on en déduit que l’aire du cercle est πr
2
.
Archimède estimait que la valeur de π était comprise entre 223 /71 et 220 /70. C’est
donc à lui que l’on doit l’approximation bien connue 22 /7 pour la valeur de π.
L’honneur du choix du symbole π revient à William Jones, mathématicien gallois
peu connu qui a occupé le poste de vice-président de la Royal Society de Londres
au xviii
e siècle. C’est grâce au mathématicien et physicien Leonhard Euler que fut
généralisé l’emploi du symbole π pour désigner le rapport de la circonférence au
diamètre d’un cercle.
La valeur exacte de π Il est absolument impossible de connaître la valeur
exacte de π car c’est un nombre irrationnel. C’est ce que Johann Lambert a démontré
en 1768. Son développement décimal est infini et imprévisible. Les 20 premières
décimales sont 3,14159265358979323846… La valeur √10 utilisée par les mathématiciens chinois et adoptée aux alentours de 500 par Brahmagupta est égale à
3,16227766016837933199. Cette valeur est un peu meilleure que la valeur grossière
3 et diffère de celle de π au niveau de la seconde décimale.
On peut calculer π à partir d’une série de nombres. On connaît la série
1 1 1 1 1
1
4
3 5 7 9 11
= − + − + − +…
dont la convergence sur π est affreusement lente cependant et épouvantable à calculer. Euler a découvert une série tout à fait remarquable qui converge vers π :
2
2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
1
6
2 3 4 5 6
= + + + + + +…