50 clés pour comprendre les maths
202
toute l’importance. Le symbole ζ correspond à la lettre grecque zêta, et la fonction
s’écrit
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
5
1
4
1
3
1
2
1
1
…
)
(
ζ
On a calculé différentes valeurs de la fonction zêta, mais ζ(1) = ∙ a surtout retenu
l’attention parce que ζ(1) est la série harmonique. La valeur de ζ(2) est
π
2
–––
6
, résultat
découvert par Euler. On a montré que les valeurs de ζ(s) impliquent toutes π
lorsque s est un nombre pair, alors que la théorie de ζ(s) pour des valeurs impaires
de s est bien plus compliquée. Roger Apéry a prouvé le résultat important selon
lequel ζ(3) est un nombre irrationnel, mais sa méthode n’a pas pu être appliquée
aux valeurs ζ(5), ζ(7), ζ(9)… ni aux valeurs suivantes.
L’hypothèse de Riemann La variable s dans
la fonction zêta de Riemann représente une variable
réelle mais elle peut représenter un nombre complexe (voir page 32). Cela permet de lui appliquer
les techniques puissantes de l’analyse complexe.
La fonction zêta de Riemann comporte une infinité
de zéros, c’est-à-dire une infinité de valeurs de s pour
lesquelles ζ(s) = 0. Dans un article présenté à l’Académie des Sciences de Berlin en 1859, Riemann a
montré que tous les zéros non triviaux étaient des
nombres complexes qui se trouvaient dans la bande
critique délimitée par les droites d’équations x = 0 et
x = 1. Il est aussi l’auteur de la célèbre conjecture :
Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ(s) sont sur la droite critique
d’équation x = 1 /2, droite qui traverse la bande critique en son milieu.
La première avancée véritable vers la résolution de cette hypothèse fut faite indépendamment en 1896 par Charles de la Vallée-Poussin et Jacques Hadamard. Ils
montrèrent que les zéros doivent se trouver à l’intérieur de la bande (et donc ζ(s)
ne s’annule pas sur les droites x = 0 et x = 1). En 1914, le mathématicien anglais
G. H. Hardy a prouvé qu’une infinité de zéros se trouvent sur la droite critique
x = 1 /2, même si cela ne peut empêcher le fait qu’une infinité de zéros puissent se
trouver ailleurs que sur cette droite.
En ce qui concerne les résultats, les zéros non triviaux calculés en 1986 (1 500 000 000
de zéros) se trouvent bien sur la droite x = 1 /2, alors que les résultats récents ont
vérifié que les 100 milliards premiers zéros se situent également sur cette droite.
Alors que ces résultats expérimentaux suggèrent que la conjecture est vraie, il reste
la possibilité qu’elle soit fausse. La conjecture dit que tous les zéros se trouvent sur
cette droite critique, mais encore faut-il le prouver ou l’infirmer.
Pourquoi l’hypothèse de Riemann est-elle importante ? Il y a un
lien inattendu entre la fonction zêta de Riemann ζ(s) et la théorie des nombres
Bande
critique
-1
0
½ 1
2
3
x
Droite
critique
x = 1
2
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toute l’importance. Le symbole ζ correspond à la lettre grecque zêta, et la fonction
s’écrit
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
5
1
4
1
3
1
2
1
1
…
)
(
ζ
On a calculé différentes valeurs de la fonction zêta, mais ζ(1) = ∙ a surtout retenu
l’attention parce que ζ(1) est la série harmonique. La valeur de ζ(2) est
π
2
–––
6
, résultat
découvert par Euler. On a montré que les valeurs de ζ(s) impliquent toutes π
lorsque s est un nombre pair, alors que la théorie de ζ(s) pour des valeurs impaires
de s est bien plus compliquée. Roger Apéry a prouvé le résultat important selon
lequel ζ(3) est un nombre irrationnel, mais sa méthode n’a pas pu être appliquée
aux valeurs ζ(5), ζ(7), ζ(9)… ni aux valeurs suivantes.
L’hypothèse de Riemann La variable s dans
la fonction zêta de Riemann représente une variable
réelle mais elle peut représenter un nombre complexe (voir page 32). Cela permet de lui appliquer
les techniques puissantes de l’analyse complexe.
La fonction zêta de Riemann comporte une infinité
de zéros, c’est-à-dire une infinité de valeurs de s pour
lesquelles ζ(s) = 0. Dans un article présenté à l’Académie des Sciences de Berlin en 1859, Riemann a
montré que tous les zéros non triviaux étaient des
nombres complexes qui se trouvaient dans la bande
critique délimitée par les droites d’équations x = 0 et
x = 1. Il est aussi l’auteur de la célèbre conjecture :
Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ(s) sont sur la droite critique
d’équation x = 1 /2, droite qui traverse la bande critique en son milieu.
La première avancée véritable vers la résolution de cette hypothèse fut faite indépendamment en 1896 par Charles de la Vallée-Poussin et Jacques Hadamard. Ils
montrèrent que les zéros doivent se trouver à l’intérieur de la bande (et donc ζ(s)
ne s’annule pas sur les droites x = 0 et x = 1). En 1914, le mathématicien anglais
G. H. Hardy a prouvé qu’une infinité de zéros se trouvent sur la droite critique
x = 1 /2, même si cela ne peut empêcher le fait qu’une infinité de zéros puissent se
trouver ailleurs que sur cette droite.
En ce qui concerne les résultats, les zéros non triviaux calculés en 1986 (1 500 000 000
de zéros) se trouvent bien sur la droite x = 1 /2, alors que les résultats récents ont
vérifié que les 100 milliards premiers zéros se situent également sur cette droite.
Alors que ces résultats expérimentaux suggèrent que la conjecture est vraie, il reste
la possibilité qu’elle soit fausse. La conjecture dit que tous les zéros se trouvent sur
cette droite critique, mais encore faut-il le prouver ou l’infirmer.
Pourquoi l’hypothèse de Riemann est-elle importante ? Il y a un
lien inattendu entre la fonction zêta de Riemann ζ(s) et la théorie des nombres
Bande
critique
-1
0
½ 1
2
3
x
Droite
critique
x = 1
2