L’hypothèse de Riemann 201
1900
Hilbert fait figurer l’hypothèse
de Riemann dans sa liste
des grands problèmes
mathématiques non résolus.
2004
On démontre que les
100 milliards premiers zéros
se trouvent sur la droite
critique.
1914
Hardy prouve qu’il y a
une infinité de solutions
sur la droite critique.
Dans la série harmonique, on fait la somme de fractions de plus en plus petites, mais
que se passe-t-il pour le résultat total ? Devient-il supérieur à tous les autres nombres
ou y a-t-il une limite quelque part, une limite qu’il ne peut jamais dépasser ? Pour
répondre à cette question, l’astuce est de grouper les termes. Si l’on fait par exemple
la somme des huit premiers termes (en sachant que 8 = 2 × 2 × 2 = 2
3 )
+
+
+
+
+
+
+
=
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
3
2
S
(où S représente la somme) et, comme 1/3 est supérieur à 1/4 et 1/5 est supérieur à
1/8 (et ainsi de suite), la somme est supérieure à
2
1
2
1
2
1
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
On peut donc dire
2
3
1
3
2
+
>
S
et, plus généralement,
2
1
2
k
S k
+
>
Si l’on prend k = 20, de sorte que n = 2
20 = 1 048 576 (soit plus d’un million de
termes), la somme de la série est seulement supérieure à 11 (voir le tableau). Le
résultat augmente avec une lenteur effroyable, mais une valeur de k peut être choisie
telle que la série augmente et atteigne ainsi n’importe quel nombre fixé à l’avance,
quelle que soit sa taille. On dit que la série diverge vers l’infini. En revanche, ce n’est
pas la même chose lorsque la série est constituée de termes élevés au carré :
…
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
On procède d’une manière similaire : on fait la somme de nombres de plus en plus
petits, mais cette fois, une limite est atteinte, et cette limite est inférieure à 2. De
façon inattendue, la série converge vers
π
2
––– = 1,64493…
6
Dans cette dernière série, les termes sont élevés à la puissance 2. Dans la série harmonique, les dénominateurs sont tacitement élevés à la puissance 1 et cette valeur
est critique. Si la puissance augmente très faiblement vers une valeur à peine supérieure à 1, la série converge, mais si la puissance est égale ou à peine inférieure à 1, la
série diverge. La série harmonique, qui diverge, est à la transition entre convergence
et divergence.
La fonction zêta de Riemann La célèbre fonction zêta de Riemann ζ était
en fait connue d’Euler au xviii
e siècle mais c’est Bernhard Riemann qui en reconnut
1900
Hilbert fait figurer l’hypothèse
de Riemann dans sa liste
des grands problèmes
mathématiques non résolus.
2004
On démontre que les
100 milliards premiers zéros
se trouvent sur la droite
critique.
1914
Hardy prouve qu’il y a
une infinité de solutions
sur la droite critique.
Dans la série harmonique, on fait la somme de fractions de plus en plus petites, mais
que se passe-t-il pour le résultat total ? Devient-il supérieur à tous les autres nombres
ou y a-t-il une limite quelque part, une limite qu’il ne peut jamais dépasser ? Pour
répondre à cette question, l’astuce est de grouper les termes. Si l’on fait par exemple
la somme des huit premiers termes (en sachant que 8 = 2 × 2 × 2 = 2
3 )
+
+
+
+
+
+
+
=
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
3
2
S
(où S représente la somme) et, comme 1/3 est supérieur à 1/4 et 1/5 est supérieur à
1/8 (et ainsi de suite), la somme est supérieure à
2
1
2
1
2
1
1
8
1
8
1
8
1
8
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4
1
4
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2
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+
+
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=
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+
+
+
+
+
+
On peut donc dire
2
3
1
3
2
+
>
S
et, plus généralement,
2
1
2
k
S k
+
>
Si l’on prend k = 20, de sorte que n = 2
20 = 1 048 576 (soit plus d’un million de
termes), la somme de la série est seulement supérieure à 11 (voir le tableau). Le
résultat augmente avec une lenteur effroyable, mais une valeur de k peut être choisie
telle que la série augmente et atteigne ainsi n’importe quel nombre fixé à l’avance,
quelle que soit sa taille. On dit que la série diverge vers l’infini. En revanche, ce n’est
pas la même chose lorsque la série est constituée de termes élevés au carré :
…
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
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1
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1
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1
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1
2
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1
On procède d’une manière similaire : on fait la somme de nombres de plus en plus
petits, mais cette fois, une limite est atteinte, et cette limite est inférieure à 2. De
façon inattendue, la série converge vers
π
2
––– = 1,64493…
6
Dans cette dernière série, les termes sont élevés à la puissance 2. Dans la série harmonique, les dénominateurs sont tacitement élevés à la puissance 1 et cette valeur
est critique. Si la puissance augmente très faiblement vers une valeur à peine supérieure à 1, la série converge, mais si la puissance est égale ou à peine inférieure à 1, la
série diverge. La série harmonique, qui diverge, est à la transition entre convergence
et divergence.
La fonction zêta de Riemann La célèbre fonction zêta de Riemann ζ était
en fait connue d’Euler au xviii
e siècle mais c’est Bernhard Riemann qui en reconnut