50 clés pour comprendre les maths
200
chronologie
1859
Riemann prouve que les zéros
non triviaux de ζ(s) se trouvent
dans une bande critique et
propose sa conjecture.
1896
De la Vallée-Poussin et Hadamard
montrent que tous les zéros non
triviaux se trouvent à l’intérieur
de la bande critique de Riemann.
1854
Riemann commence
son travail sur
la fonction zêta.
50
L’histoire commence avec l’addition de fractions du type
3
1
2
1
1
+
+
La réponse est 11/6 (soit en valeur approchée 1,83). Mais que se passe-t-il si l’on
continue à additionner des fractions de plus en plus petites, par exemple 10 fractions de ce type ?
.
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
En utilisant une simple calculatrice, la somme de
ces fractions est égale en valeur approchée à 2,9. Un
tableau montre comment le résultat total augmente
à mesure que l’on ajoute des termes.
La série de nombres
...
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
+
+
+
+
+
+
s’appelle une série harmonique. L’adjectif harmonique
vient des Pythagoriciens qui pensaient que diviser la
corde d’un instrument de musique par un demi, un
tiers, et un quart donnait les harmoniques essentielles.
Nombre
de termes
Valeurs
(approchées)
1
1
10
2,9
100
5,2
1 000
7,5
10 000
9,8
100 000
12,1
1 000 000
14,4
1 000 000 000
21,3
L’hypothèse
de Riemann
L’hypothèse de Riemann représente l’un des défis les plus coriaces des
mathématiques pures. On a finalement réussi à venir à bout de la conjecture de
Poincaré et du grand théorème de Fermat, mais pas de l’hypothèse de Riemann.
Lorsqu’elle sera démontrée, d’une façon ou d’une autre, alors les problèmes
les plus tenaces sur la distribution des nombres premiers seront résolus et
engendreront un éventail de nouveaux problèmes qui seront autant de sujets
de méditation pour les mathématiciens.