Les carrés et les racines carrées 19
longueur de [AB] pourrait s’écrire symboliquement sous la forme √2 ; la question
est donc de savoir si √2 = m/n.
Avec notre calculatrice, nous avons déjà vu que l’expression décimale de √2 est
potentiellement infinie, ce qui indique peut-être que √2 n’est pas une fraction.
Toutefois, le rationnel 0,3333333… n’a pas de fin et pourtant, il représente la fraction 1 /3. Il nous faut des arguments plus convaincants.
Est-ce que √2 est une fraction ? Cette question débouche sur l’une des
preuves les plus célèbres des mathématiques. Elle se situe dans la lignée de ce type de
preuves dont les Grecs étaient friands : la méthode de raisonnement par l’absurde. On
a d’abord abordé ce problème en disant que √2 ne peut pas à la fois être une fraction
et ne pas en être une. C’est ce que l’on appelle en logique la loi du « tiers exclu ». Mais
cette logique n’autorise pas de solution intermédiaire. La méthode suivie par les Grecs
était donc astucieuse. Ils ont admis que c’était une fraction et, selon une logique
parfaitement rigoureuse appliquée à chaque étape du raisonnement, ils en ont tiré
une contradiction, une « absurdité ». Suivons donc ce raisonnement. Supposez que
2
m
n
=
On peut allez un peu plus loin. On peut supposer que m et n n’ont aucun facteur
commun. C’est correct car s’ils en avaient, on pourrait les éliminer avant de commencer. (Par exemple, la fraction 21/35 est égale à la fraction 3/5 après élimination
du facteur commun 7.)
On peut élever au carré les deux côtés de √2 = m/n pour obtenir 2 = m
2
/n
2 et donc
m
2 = 2n
2
. C’est ici que l’on peut faire la première observation : puisque m
2 est le double
d’un entier, ce doit être un nombre pair. Ensuite, m lui-même ne peut pas être impair
(parce que le carré d’un nombre impair est impair) et donc m est aussi un nombre pair.
Jusque-là, la logique est impeccable. Comme m est pair, il doit être égal au double
d’un entier que l’on peut écrire sous la forme m = 2k. Élever au carré les deux côtés
signifie que m
2 = 4k
2
. Or, m
2 = 2n
2
, donc 2n
2 = 4k
2 et en simplifiant par 2, on peut
conclure que n
2 = 2k
2
. C’est du déjà vu ! Et comme précédemment, on conclut que n
2
est pair et que n lui-même est pair. En suivant une logique rigoureuse, nous en avons
déduit que m et n sont tous deux pairs et qu’ils ont donc comme facteur commun 2.
Ce résultat est contraire à notre supposition de départ que m et n n’ont pas de facteurs communs. La conclusion est donc que √2 ne peut pas être une fraction.
On peut aussi prouver que toute la suite de nombres √n (sauf lorsque n est un carré
parfait) ne peuvent pas être des fractions. Les nombres qui ne peuvent pas être
exprimés sous forme de fractions sont appelés les nombres « irrationnels », et nous
avons donc observé qu’il y a un nombre infini de nombres irrationnels.
l’idée clé
Vers les nombres irrationnels
longueur de [AB] pourrait s’écrire symboliquement sous la forme √2 ; la question
est donc de savoir si √2 = m/n.
Avec notre calculatrice, nous avons déjà vu que l’expression décimale de √2 est
potentiellement infinie, ce qui indique peut-être que √2 n’est pas une fraction.
Toutefois, le rationnel 0,3333333… n’a pas de fin et pourtant, il représente la fraction 1 /3. Il nous faut des arguments plus convaincants.
Est-ce que √2 est une fraction ? Cette question débouche sur l’une des
preuves les plus célèbres des mathématiques. Elle se situe dans la lignée de ce type de
preuves dont les Grecs étaient friands : la méthode de raisonnement par l’absurde. On
a d’abord abordé ce problème en disant que √2 ne peut pas à la fois être une fraction
et ne pas en être une. C’est ce que l’on appelle en logique la loi du « tiers exclu ». Mais
cette logique n’autorise pas de solution intermédiaire. La méthode suivie par les Grecs
était donc astucieuse. Ils ont admis que c’était une fraction et, selon une logique
parfaitement rigoureuse appliquée à chaque étape du raisonnement, ils en ont tiré
une contradiction, une « absurdité ». Suivons donc ce raisonnement. Supposez que
2
m
n
=
On peut allez un peu plus loin. On peut supposer que m et n n’ont aucun facteur
commun. C’est correct car s’ils en avaient, on pourrait les éliminer avant de commencer. (Par exemple, la fraction 21/35 est égale à la fraction 3/5 après élimination
du facteur commun 7.)
On peut élever au carré les deux côtés de √2 = m/n pour obtenir 2 = m
2
/n
2 et donc
m
2 = 2n
2
. C’est ici que l’on peut faire la première observation : puisque m
2 est le double
d’un entier, ce doit être un nombre pair. Ensuite, m lui-même ne peut pas être impair
(parce que le carré d’un nombre impair est impair) et donc m est aussi un nombre pair.
Jusque-là, la logique est impeccable. Comme m est pair, il doit être égal au double
d’un entier que l’on peut écrire sous la forme m = 2k. Élever au carré les deux côtés
signifie que m
2 = 4k
2
. Or, m
2 = 2n
2
, donc 2n
2 = 4k
2 et en simplifiant par 2, on peut
conclure que n
2 = 2k
2
. C’est du déjà vu ! Et comme précédemment, on conclut que n
2
est pair et que n lui-même est pair. En suivant une logique rigoureuse, nous en avons
déduit que m et n sont tous deux pairs et qu’ils ont donc comme facteur commun 2.
Ce résultat est contraire à notre supposition de départ que m et n n’ont pas de facteurs communs. La conclusion est donc que √2 ne peut pas être une fraction.
On peut aussi prouver que toute la suite de nombres √n (sauf lorsque n est un carré
parfait) ne peuvent pas être des fractions. Les nombres qui ne peuvent pas être
exprimés sous forme de fractions sont appelés les nombres « irrationnels », et nous
avons donc observé qu’il y a un nombre infini de nombres irrationnels.
l’idée clé
Vers les nombres irrationnels