50 clés pour comprendre les maths
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Il existe une autre façon tout à fait admirable de noter les racines carrées. De même
que x
2 indique un nombre élevé au carré, on peut écrire une racine carrée sous
la forme x
1/2 qui concorde avec la formule selon laquelle on peut multiplier des
nombres en additionnant leurs puissances. C’est la base des logarithmes inventés
après que l’on eut compris aux alentours de 1600 comment on pouvait transformer
un problème impliquant des multiplications en un problème d’additions. Mais c’est
une autre histoire. Les nombres positifs ont tous des racines carrées qui ne sont pas
nécessairement égales à des nombres entiers. Toutes les calculatrices sont virtuellement capables de donner la racine carrée d’un nombre grâce à la touche √ . Si l’on
tape √7 par exemple, elles affichent 2,645 751 311.
Examinons √2. Le nombre 2 avait une signification particulière pour les
Pythagoriciens car c’est le premier nombre pair (pour les Grecs, les nombres pairs
étaient féminins et les impairs masculins, tandis que les petits nombres avaient
chacun une personnalité particulière). Si vous tapez √2 sur votre calculatrice, vous
obtenez 1,414 213 562, en supposant que votre calculatrice vous donne autant
de décimales. Est-ce donc la racine carrée de 2 ? Pour le vérifier, nous calculons
1,414 213 562 × 1,414 213 562. On obtient 1,999 999 999. Ce n’est pas tout à fait
2 car en fait 1,414 213 562 n’est qu’une approximation de la racine carrée de 2.
Ce qui est remarquable, c’est que nous ne réussirons jamais à obtenir autre chose
qu’une valeur approchée de 2 ! On peut étendre l’écriture décimale de √2 à des
millions de décimales, mais elle ne sera jamais rien d’autre qu’une approximation.
Le nombre √2 est important en mathématiques. Bien sûr, il n’a peut-être pas tout
l’éclat de π ou e (voir pages 20-27), mais il en a quand même suffisamment
pour avoir son nom à lui : on l’appelle parfois le « nombre de Pythagore ».
Les racines carrées sont-elles des fractions ? Cette question est
étroitement liée à la théorie de la mesure des longueurs telle que les Grecs
de l’Antiquité l’avait définie. Imaginez un segment [AB] dont nous voulons
mesurer la longueur, et une « unité » indivisible [CD] qui servira à la mesurer. Pour ce faire, on place plusieurs fois
l’unité [CD] bout à bout le long de [AB]. Si l’on pose
l’unité m fois et que l’extrémité de l’unité (point C) et
celle du segment (point B) correspondent parfaitement,
alors la longueur de [AB] sera simplement m. Dans le cas contraire, on peut placer
une copie de [AB] à côté de l’original et continuer à mesurer avec l’unité (voir la
figure). Les Grecs croyaient qu’à un certain moment, en utilisant n copies de [AB] et
m unités, l’extrémité de l’unité et le point final du n
ème [AB] seraient en parfaite
adéquation. La longueur de [AB] serait alors m/n. Si par exemple 3 copies de
[AB] sont posées bout à bout et que 29 unités couvrent cette longueur, la
longueur de [AB] serait de 29/3.
Les Grecs ont aussi cherché à mesurer la longueur du côté [AB]
(l’hypoténuse) d’un triangle dont les deux autres côtés ont
une longueur d’« unité » 1. Selon le théorème de Pythagore, la
A
1 unité
1 unité
C
B
A
B
A
C D
B
‘
‘
‘
‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘
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Il existe une autre façon tout à fait admirable de noter les racines carrées. De même
que x
2 indique un nombre élevé au carré, on peut écrire une racine carrée sous
la forme x
1/2 qui concorde avec la formule selon laquelle on peut multiplier des
nombres en additionnant leurs puissances. C’est la base des logarithmes inventés
après que l’on eut compris aux alentours de 1600 comment on pouvait transformer
un problème impliquant des multiplications en un problème d’additions. Mais c’est
une autre histoire. Les nombres positifs ont tous des racines carrées qui ne sont pas
nécessairement égales à des nombres entiers. Toutes les calculatrices sont virtuellement capables de donner la racine carrée d’un nombre grâce à la touche √ . Si l’on
tape √7 par exemple, elles affichent 2,645 751 311.
Examinons √2. Le nombre 2 avait une signification particulière pour les
Pythagoriciens car c’est le premier nombre pair (pour les Grecs, les nombres pairs
étaient féminins et les impairs masculins, tandis que les petits nombres avaient
chacun une personnalité particulière). Si vous tapez √2 sur votre calculatrice, vous
obtenez 1,414 213 562, en supposant que votre calculatrice vous donne autant
de décimales. Est-ce donc la racine carrée de 2 ? Pour le vérifier, nous calculons
1,414 213 562 × 1,414 213 562. On obtient 1,999 999 999. Ce n’est pas tout à fait
2 car en fait 1,414 213 562 n’est qu’une approximation de la racine carrée de 2.
Ce qui est remarquable, c’est que nous ne réussirons jamais à obtenir autre chose
qu’une valeur approchée de 2 ! On peut étendre l’écriture décimale de √2 à des
millions de décimales, mais elle ne sera jamais rien d’autre qu’une approximation.
Le nombre √2 est important en mathématiques. Bien sûr, il n’a peut-être pas tout
l’éclat de π ou e (voir pages 20-27), mais il en a quand même suffisamment
pour avoir son nom à lui : on l’appelle parfois le « nombre de Pythagore ».
Les racines carrées sont-elles des fractions ? Cette question est
étroitement liée à la théorie de la mesure des longueurs telle que les Grecs
de l’Antiquité l’avait définie. Imaginez un segment [AB] dont nous voulons
mesurer la longueur, et une « unité » indivisible [CD] qui servira à la mesurer. Pour ce faire, on place plusieurs fois
l’unité [CD] bout à bout le long de [AB]. Si l’on pose
l’unité m fois et que l’extrémité de l’unité (point C) et
celle du segment (point B) correspondent parfaitement,
alors la longueur de [AB] sera simplement m. Dans le cas contraire, on peut placer
une copie de [AB] à côté de l’original et continuer à mesurer avec l’unité (voir la
figure). Les Grecs croyaient qu’à un certain moment, en utilisant n copies de [AB] et
m unités, l’extrémité de l’unité et le point final du n
ème [AB] seraient en parfaite
adéquation. La longueur de [AB] serait alors m/n. Si par exemple 3 copies de
[AB] sont posées bout à bout et que 29 unités couvrent cette longueur, la
longueur de [AB] serait de 29/3.
Les Grecs ont aussi cherché à mesurer la longueur du côté [AB]
(l’hypoténuse) d’un triangle dont les deux autres côtés ont
une longueur d’« unité » 1. Selon le théorème de Pythagore, la
A
1 unité
1 unité
C
B
A
B
A
C D
B
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