Les carrés et les racines carrées 17
1872
Richard Dedekind expose
une théorie sur les nombres
irrationnels.
1550
Le symbole EF est introduit pour
représenter les racines carrées.
630 ap. J.-C.
Brahmagupta donne
des méthodes pour calculer
les racines carrées.
triangulaire vient après 10 ? Il aura 5 points sur sa dernière rangée et il
suffit alors d’effectuer l’opération 10 + 5 = 15.
Si vous comparez les carrés parfaits aux nombres triangulaires, vous verrez
que le nombre 36 apparaît dans les deux listes, mais il y a un lien bien
plus surprenant encore entre ces nombres. Prenez des nombres triangulaires successifs et additionnez-les. Qu’obtenez-vous ? Essayons et notons
les résultats obtenus dans un tableau.
C’est cela ! Lorsque vous additionnez deux nombres triangulaires successifs, vous obtenez un carré parfait. Vous pouvez aussi essayer avec une
« preuve muette». Considérez un carré constitué de 4 rangées de 4 points
traversé par une diagonale. Les points situés au-dessus de la diagonale (voir
la figure) forment un nombre triangulaire, et en-dessous de cette diagonale
se trouve le nombre triangulaire suivant. Cette observation est valable pour
un carré de n’importe quelle taille. Avec ces « diagrammes à points », nous
nous donnons les moyens de mesurer des aires. L’aire d’un carré dont le
côté est 4 est 4 × 4 = 4
2 = 16 unités d’aire. En général, si l’on désigne le côté
par x, alors l’aire sera égale à x
2
.
La représentation graphique de la fonction x
2 est une courbe de forme parabolique qui correspond à la forme des antennes paraboliques de télévision
ou des réflecteurs de phares de voiture. Une parabole possède un foyer.
Un détecteur placé au foyer de la parabole concentre les signaux réfléchis
lorsque des rayons parallèles provenant de l’espace viennent frapper l’antenne parabolique avant de converger vers le foyer.
Dans les phares de voiture, une ampoule placée en leur centre émet un rayon parallèle de lumière. En sport, les lanceurs de poids, de javelot et de marteau savent tous
que la parabole est la trajectoire que décrit un objet en retombant à terre.
Les racines carrées Si l’on retourne la question et que l’on cherche
la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à 16, la réponse est
tout simplement 4. La racine carrée de √16 est 4 et on l’écrit √16 = 4. Le
symbole √ est employé depuis les années 1500. Tous les carrés parfaits ont
pour racines carrées de jolis nombres entiers. Par exemple, √1 = 1, √4 = 2,
√9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, et ainsi de suite. Ces carrés parfaits ne se suivent
cependant pas d’une traite sur la ligne des nombres. Viennent s’intercaler
entre eux les nombres 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11…
• ‘ ‘ • ‘ ‘ ‘ ‘ • ‘
‘ ‘
‘ ‘ ····
2 3
5 6 7 8
10 11 12 13 14
1
4
9
Addition de deux
nombres triangulaires
successifs
1 + 3
4
3 + 6
9
6 + 10
16
10 + 15
25
15 + 21
36
21 + 28
49
28 + 36
64
1872
Richard Dedekind expose
une théorie sur les nombres
irrationnels.
1550
Le symbole EF est introduit pour
représenter les racines carrées.
630 ap. J.-C.
Brahmagupta donne
des méthodes pour calculer
les racines carrées.
triangulaire vient après 10 ? Il aura 5 points sur sa dernière rangée et il
suffit alors d’effectuer l’opération 10 + 5 = 15.
Si vous comparez les carrés parfaits aux nombres triangulaires, vous verrez
que le nombre 36 apparaît dans les deux listes, mais il y a un lien bien
plus surprenant encore entre ces nombres. Prenez des nombres triangulaires successifs et additionnez-les. Qu’obtenez-vous ? Essayons et notons
les résultats obtenus dans un tableau.
C’est cela ! Lorsque vous additionnez deux nombres triangulaires successifs, vous obtenez un carré parfait. Vous pouvez aussi essayer avec une
« preuve muette». Considérez un carré constitué de 4 rangées de 4 points
traversé par une diagonale. Les points situés au-dessus de la diagonale (voir
la figure) forment un nombre triangulaire, et en-dessous de cette diagonale
se trouve le nombre triangulaire suivant. Cette observation est valable pour
un carré de n’importe quelle taille. Avec ces « diagrammes à points », nous
nous donnons les moyens de mesurer des aires. L’aire d’un carré dont le
côté est 4 est 4 × 4 = 4
2 = 16 unités d’aire. En général, si l’on désigne le côté
par x, alors l’aire sera égale à x
2
.
La représentation graphique de la fonction x
2 est une courbe de forme parabolique qui correspond à la forme des antennes paraboliques de télévision
ou des réflecteurs de phares de voiture. Une parabole possède un foyer.
Un détecteur placé au foyer de la parabole concentre les signaux réfléchis
lorsque des rayons parallèles provenant de l’espace viennent frapper l’antenne parabolique avant de converger vers le foyer.
Dans les phares de voiture, une ampoule placée en leur centre émet un rayon parallèle de lumière. En sport, les lanceurs de poids, de javelot et de marteau savent tous
que la parabole est la trajectoire que décrit un objet en retombant à terre.
Les racines carrées Si l’on retourne la question et que l’on cherche
la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à 16, la réponse est
tout simplement 4. La racine carrée de √16 est 4 et on l’écrit √16 = 4. Le
symbole √ est employé depuis les années 1500. Tous les carrés parfaits ont
pour racines carrées de jolis nombres entiers. Par exemple, √1 = 1, √4 = 2,
√9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, et ainsi de suite. Ces carrés parfaits ne se suivent
cependant pas d’une traite sur la ligne des nombres. Viennent s’intercaler
entre eux les nombres 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11…
• ‘ ‘ • ‘ ‘ ‘ ‘ • ‘
‘ ‘
‘ ‘ ····
2 3
5 6 7 8
10 11 12 13 14
1
4
9
Addition de deux
nombres triangulaires
successifs
1 + 3
4
3 + 6
9
6 + 10
16
10 + 15
25
15 + 21
36
21 + 28
49
28 + 36
64