50 clés pour comprendre les maths
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rectangle. C’est l’outil mathématique que l’ouvrier utilise pour construire ses murs
à angles droits.
Dans ce cas, on peut casser un carré 3 × 3 et se servir des morceaux pour les
placer autour d’un carré 4 × 4 afin de construire un carré 5 × 5.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 a des solutions entières. Par exemple, x = 5, y = 12
et z = 13 est une autre solution parce que 5
2 + 12
2 = 13
2 , et il y a en
fait une infinité de solutions pour cette équation. La solution
de l’ouvrier x = 3, y = 4 et z = 5 a la place d’honneur parce
que c’est la solution la plus petite, et c’est la seule solution composée de nombres entiers consécutifs. Il y
a de nombreuses solutions où deux nombres sont
consécutifs, telles que x = 20, y = 21 et z = 29, mais
aucune autre avec trois nombres consécutifs.
Après la fête, la famine On a
l’impression que passer de x
2 + y
2 = z
2 à
x
3 + y
3 = z
3 ne fait pas grande différence.
Peut-on alors reprendre cette idée astucieuse qui consiste à rassembler un carré
en morceaux autour d’un autre carré pour
en former un troisième et l’appliquer à
un cube ? Peut-on rassembler un cube
autour d’un autre pour en construire un
troisième ? Il s’avère que c’est impossible. L’équation x
2 + y
2 = z
2 a une infinité de
solutions distinctes, mais Fermat a été incapable de trouver une seule solution pour
x
3 + y
3 = z
3 . Le pire était à venir, et Leonhard Euler, qui n’obtenait pas de résultats,
fut amené à formuler la conjecture suivante :
L’équation x
n + y
n = z
n n’a aucune solution entière pour toutes les valeurs entières de n
supérieures ou égales à 3.
Pour démontrer ce théorème, on peut commencer avec des petites valeurs de n
et poursuivre avec des valeurs supérieures. C’est ainsi que travailla Fermat. Le cas
n = 4 est en réalité plus simple que n = 3, et Fermat avait probablement une preuve
pour ce cas. Aux xviii
e et xix
e siècles, Euler traita le cas n = 3, Adrien-Marie Legendre
démontra le cas n = 5, et Gabriel Lamé prouva le cas n = 7. Au début, Lamé pensait
avoir une preuve du théorème dans le cas général, mais il s’était malheureusement
trompé.
Ernst Kummer apporta une contribution majeure à la résolution du problème.
Ainsi, en 1843, il soumit un manuscrit dans lequel il affirmait avoir prouvé le théorème dans le cas général, mais Dirichlet signala qu’il y avait un manque dans son
raisonnement. L’Académie des Sciences française offrit un prix de 3 000 francs à
celui qui apporterait une preuve valide, et le décerna finalement à Kummer pour cet
essai méritoire. Kummer prouva le théorème pour tous les nombres premiers infé3 x 3
4 x 4
5 x 5
rectangle. C’est l’outil mathématique que l’ouvrier utilise pour construire ses murs
à angles droits.
Dans ce cas, on peut casser un carré 3
placer autour d’un carré 4
L’équation x
2
et z = 13 est une autre solution parce que 5
fait une infinité de solutions pour cette équation. La solution
5
4
3
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rectangle. C’est l’outil mathématique que l’ouvrier utilise pour construire ses murs
à angles droits.
Dans ce cas, on peut casser un carré 3 × 3 et se servir des morceaux pour les
placer autour d’un carré 4 × 4 afin de construire un carré 5 × 5.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 a des solutions entières. Par exemple, x = 5, y = 12
et z = 13 est une autre solution parce que 5
2 + 12
2 = 13
2 , et il y a en
fait une infinité de solutions pour cette équation. La solution
de l’ouvrier x = 3, y = 4 et z = 5 a la place d’honneur parce
que c’est la solution la plus petite, et c’est la seule solution composée de nombres entiers consécutifs. Il y
a de nombreuses solutions où deux nombres sont
consécutifs, telles que x = 20, y = 21 et z = 29, mais
aucune autre avec trois nombres consécutifs.
Après la fête, la famine On a
l’impression que passer de x
2 + y
2 = z
2 à
x
3 + y
3 = z
3 ne fait pas grande différence.
Peut-on alors reprendre cette idée astucieuse qui consiste à rassembler un carré
en morceaux autour d’un autre carré pour
en former un troisième et l’appliquer à
un cube ? Peut-on rassembler un cube
autour d’un autre pour en construire un
troisième ? Il s’avère que c’est impossible. L’équation x
2 + y
2 = z
2 a une infinité de
solutions distinctes, mais Fermat a été incapable de trouver une seule solution pour
x
3 + y
3 = z
3 . Le pire était à venir, et Leonhard Euler, qui n’obtenait pas de résultats,
fut amené à formuler la conjecture suivante :
L’équation x
n + y
n = z
n n’a aucune solution entière pour toutes les valeurs entières de n
supérieures ou égales à 3.
Pour démontrer ce théorème, on peut commencer avec des petites valeurs de n
et poursuivre avec des valeurs supérieures. C’est ainsi que travailla Fermat. Le cas
n = 4 est en réalité plus simple que n = 3, et Fermat avait probablement une preuve
pour ce cas. Aux xviii
e et xix
e siècles, Euler traita le cas n = 3, Adrien-Marie Legendre
démontra le cas n = 5, et Gabriel Lamé prouva le cas n = 7. Au début, Lamé pensait
avoir une preuve du théorème dans le cas général, mais il s’était malheureusement
trompé.
Ernst Kummer apporta une contribution majeure à la résolution du problème.
Ainsi, en 1843, il soumit un manuscrit dans lequel il affirmait avoir prouvé le théorème dans le cas général, mais Dirichlet signala qu’il y avait un manque dans son
raisonnement. L’Académie des Sciences française offrit un prix de 3 000 francs à
celui qui apporterait une preuve valide, et le décerna finalement à Kummer pour cet
essai méritoire. Kummer prouva le théorème pour tous les nombres premiers infé3 x 3
4 x 4
5 x 5
rectangle. C’est l’outil mathématique que l’ouvrier utilise pour construire ses murs
à angles droits.
Dans ce cas, on peut casser un carré 3
placer autour d’un carré 4
L’équation x
2
et z = 13 est une autre solution parce que 5
fait une infinité de solutions pour cette équation. La solution
5
4
3