Le grand théorème de Fermat 197
1843
Kummer affirme qu’il
a prouvé le théorème,
mais Dirichlet signale
une faille.
1907
Von Lindemann affirme
avoir une preuve, mais
on démontre qu’elle est
fausse.
1908
Wolfskehl offre un prix
pour toute solution
obtenue avant 2008.
1994
Wiles finit par prouver
le théorème.
L’équation x + y = z Comment résoudre cette équation avec trois variables
x, y et z ? Dans une équation, on a d’ordinaire une inconnue x, mais ici, il y en a 3.
Cela permet en fait de résoudre facilement l’équation x + y = z. On peut choisir les
valeurs de x et y comme on veut, en faire la somme pour obtenir z et ainsi obtenir
une solution. C’est aussi simple que cela.
Si l’on choisit par exemple x = 3 et y = 7, les valeurs x = 3, y = 7 et z = 10 sont
solutions de l’équation. Cela permet aussi de voir que certaines valeurs de x, y et
z ne sont pas solutions de l’équation. Par exemple, x = 3, y = 7 et z = 9 ne sont pas
solutions de l’équation parce qu’avec ces valeurs, la somme x + y n’est pas égale à z.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 Nous allons maintenant examiner les carrés. Le carré
d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même, et on l’écrit sous la forme x
2
.
Si x = 3, alors x
2 = 3 × 3 = 9. L’équation dont il est maintenant question n’est plus
x + y = z mais
x
2 + y
2 = z
2
.
Peut-on la résoudre comme précédemment, en choisissant des valeurs pour x et y et
en calculant z ? Avec les valeurs x = 3 et y = 7, par exemple, le membre de gauche de
l’équation est égal à 3
2 + 7
2
, soit 9 + 49 = 58. Pour cela, z devrait être la racine carrée
de 58 (z = √58), soit 7,6158 en valeur approchée. On peut certainement dire que
x = 3, y = 7 et z = √58 sont solutions de x
2 + y
2 = z
2 , mais malheureusement, les
équations diophantiennes ne peuvent avoir pour solutions que des nombres entiers.
Comme √58 n’est pas un nombre entier, les valeurs x = 3, y = 7 et z = √58 ne
conviennent pas.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 est liée aux triangles. Si les valeurs de x, y et z représentent
les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle, elles satisfont l’équation.
Réciproquement, si x, y et z satisfont l’équation, alors
l’angle formé par les côtés de longueurs respectives x
et y est un angle droit. En raison de leurs liens avec
le théorème de Pythagore, les solutions x, y et z sont
appelées les triplets Pythagoriciens.
Comment trouver des triplets Pythagoriciens ? C’est
là qu’intervient l’ouvrier du bâtiment. Parmi tout le
matériel de l’ouvrier, figure l’équerre de dimensions 3,
4, 5. Il s’avère que les valeurs x = 3, y = 4 et z = 5 sont
solutions car 3
2 + 4
2 = 9 + 16 = 5
2
. D’après la réciproque
du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés
ont des longueurs égales à 3, 4 et 5 est nécessairement
x?
z?
y?
1843
Kummer affirme qu’il
a prouvé le théorème,
mais Dirichlet signale
une faille.
1907
Von Lindemann affirme
avoir une preuve, mais
on démontre qu’elle est
fausse.
1908
Wolfskehl offre un prix
pour toute solution
obtenue avant 2008.
1994
Wiles finit par prouver
le théorème.
L’équation x + y = z Comment résoudre cette équation avec trois variables
x, y et z ? Dans une équation, on a d’ordinaire une inconnue x, mais ici, il y en a 3.
Cela permet en fait de résoudre facilement l’équation x + y = z. On peut choisir les
valeurs de x et y comme on veut, en faire la somme pour obtenir z et ainsi obtenir
une solution. C’est aussi simple que cela.
Si l’on choisit par exemple x = 3 et y = 7, les valeurs x = 3, y = 7 et z = 10 sont
solutions de l’équation. Cela permet aussi de voir que certaines valeurs de x, y et
z ne sont pas solutions de l’équation. Par exemple, x = 3, y = 7 et z = 9 ne sont pas
solutions de l’équation parce qu’avec ces valeurs, la somme x + y n’est pas égale à z.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 Nous allons maintenant examiner les carrés. Le carré
d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même, et on l’écrit sous la forme x
2
.
Si x = 3, alors x
2 = 3 × 3 = 9. L’équation dont il est maintenant question n’est plus
x + y = z mais
x
2 + y
2 = z
2
.
Peut-on la résoudre comme précédemment, en choisissant des valeurs pour x et y et
en calculant z ? Avec les valeurs x = 3 et y = 7, par exemple, le membre de gauche de
l’équation est égal à 3
2 + 7
2
, soit 9 + 49 = 58. Pour cela, z devrait être la racine carrée
de 58 (z = √58), soit 7,6158 en valeur approchée. On peut certainement dire que
x = 3, y = 7 et z = √58 sont solutions de x
2 + y
2 = z
2 , mais malheureusement, les
équations diophantiennes ne peuvent avoir pour solutions que des nombres entiers.
Comme √58 n’est pas un nombre entier, les valeurs x = 3, y = 7 et z = √58 ne
conviennent pas.
L’équation x
2 + y
2 = z
2 est liée aux triangles. Si les valeurs de x, y et z représentent
les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle, elles satisfont l’équation.
Réciproquement, si x, y et z satisfont l’équation, alors
l’angle formé par les côtés de longueurs respectives x
et y est un angle droit. En raison de leurs liens avec
le théorème de Pythagore, les solutions x, y et z sont
appelées les triplets Pythagoriciens.
Comment trouver des triplets Pythagoriciens ? C’est
là qu’intervient l’ouvrier du bâtiment. Parmi tout le
matériel de l’ouvrier, figure l’équerre de dimensions 3,
4, 5. Il s’avère que les valeurs x = 3, y = 4 et z = 5 sont
solutions car 3
2 + 4
2 = 9 + 16 = 5
2
. D’après la réciproque
du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés
ont des longueurs égales à 3, 4 et 5 est nécessairement
x?
z?
y?